Métodos de derivación

Cómo hacer derivación implícita: pasos y ejemplos

Las ecuaciones implícitas relacionan x e y sin despejar primero y. Trata y como función de x: cada término derivado con y lleva y′ y los productos como xy requieren la regla del producto.

Respuesta directa

Deriva ambos lados, reúne todos los términos con y′ y despeja y′.

Una fórmula local de pendiente para y=y(x) requiere que el coeficiente de y′ no sea cero en el punto estudiado.

Método resuelto: x²+xy+y²=1

Deriva ambos lados respecto de x. La regla del producto da d(xy)/dx=y+xy′ y la de la cadena da d(y²)/dx=2yy′.

Reúne los términos que contienen y′: xy′+2yy′=−2x−y. Saca y′ como factor para obtener (x+2y)y′=−(2x+y).

Divide solo donde x+2y no sea cero: y′=−(2x+y)/(x+2y). Un denominador cero significa que esta fórmula local de y como función de x no está disponible allí; no significa automáticamente que la ecuación original no tenga solución.

1
2x + y + xy′ + 2yy′ = 0
2
(x + 2y)y′ = −(2x + y)
3
y′ = −(2x + y)/(x + 2y), x+2y ≠ 0

Ejemplos resueltos

x2+y2=25x^{2} + y^{2} = 25
y′ = −x/y

La expresión local y(x) requiere y≠0.

xy = 6
y′ = −y/x

Usa la regla del producto: y+xy′=0, con x≠0.

y2=x3+1y^{2} = x^{3} + 1
y′ = 3x²/(2y)

Derivar y² introduce 2yy′; la fórmula local requiere y≠0.

Errores comunes

  • • Tratar y como constante aunque la ecuación haga que dependa de x.
  • • Escribir d(xy)/dx como xy′ y omitir el término y de la regla del producto.
  • • Llamar «sin solución» a cada punto donde el coeficiente de y′ es cero; el problema está en la representación local elegida, no necesariamente en la curva.

Prueba los ejemplos en la calculadora

Cada enlace abre la calculadora correspondiente con la expresión, la variable y las condiciones necesarias ya completadas.

Derivación implícita:x2+y2=25x^{2} + y^{2} = 25Derivación implícita:x2+x y+y2=1x^{2} + x\,y + y^{2} = 1
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Referencias