Funciones trigonométricas inversas

Derivada de arctan(x): fórmula, demostración y ejemplos

Arctan es la función inversa de la tangente en su intervalo principal. No es el recíproco 1/tan(x): la notación de función inversa y la de recíproco describen operaciones distintas.

Respuesta directa

ddx[arctan⁡x]=11+x2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\arctan x\right] = \frac{1}{1 + x^{2}}

Válida para todo x real; los ángulos se miden en radianes.

Demostración a partir de tan(y) = x

Sea y = arctan(x), de modo que tan(y) = x. Deriva implícitamente respecto de x.

Como d/dy tan(y) = sec²(y), la regla de la cadena da sec²(y) · dy/dx = 1.

Usa sec²(y) = 1 + tan²(y) y tan(y) = x. Por tanto, dy/dx = 1/(1+x²).

1
tan⁡y=x\tan y = x
2
sec²(y) · dy/dx = 1
3
dydx=11+x2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{1 + x^{2}}

Ejemplos resueltos

ddx[arctan⁡(2 x)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\arctan\left(2\,x\right)\right]
21+4 x2\frac{2}{1 + 4\,x^{2}}

La derivada interior aporta el factor 2.

ddx[arctan⁡(x2)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\arctan\left(x^{2}\right)\right]
2 x1+x4\frac{2\,x}{1 + x^{4}}

Eleva al cuadrado toda la expresión interior del denominador.

ddx[arctan⁡(1x)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\arctan\left(\frac{1}{x}\right)\right]
−1x2+1\frac{-1}{x^{2} + 1}

Aplica la regla de la cadena en intervalos donde x ≠ 0.

Errores comunes

  • • Sustituir arctan(x) por 1/tan(x). La primera es una función inversa; la segunda, un recíproco.
  • • Olvidar elevar al cuadrado toda la entrada interior en 1+[g(x)]².
  • • Usar constantes de derivación para grados. Las fórmulas habituales de cálculo suponen radianes.

Prueba los ejemplos en la calculadora

Cada enlace abre la calculadora correspondiente con la expresión, la variable y las condiciones necesarias ya completadas.

Derivadas:arctan⁡(2 x)\arctan\left(2\,x\right)
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