反三角函數

arctan(x) 的導數：公式、證明與例題

Arctan 是正切函數在主值區間上的反函數，不是倒數 1/tan(x)。反函數記號與倒數記號，描述的是不同運算。

先看結論

ddx[arctan⁡x]=11+x2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\arctan x\right] = \frac{1}{1 + x^{2}}

對所有實數 x 成立；角度以弧度表示。

從 tan(y) = x 推導

設 y = arctan(x)，因此 tan(y) = x。對 x 做隱函數微分。

由於 d/dy tan(y) = sec²(y)，連鎖律給出 sec²(y) · dy/dx = 1。

利用 sec²(y) = 1 + tan²(y) 與 tan(y) = x，可得 dy/dx = 1/(1+x²)。

1
tan⁡y=x\tan y = x
2
sec²(y) · dy/dx = 1
3
dydx=11+x2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{1 + x^{2}}

解題範例

ddx[arctan⁡(2 x)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\arctan\left(2\,x\right)\right]
21+4 x2\frac{2}{1 + 4\,x^{2}}

係數 2 來自內層導數。

ddx[arctan⁡(x2)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\arctan\left(x^{2}\right)\right]
2 x1+x4\frac{2\,x}{1 + x^{4}}

分母要將完整的內層表示式平方。

ddx[arctan⁡(1x)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\arctan\left(\frac{1}{x}\right)\right]
−1x2+1\frac{-1}{x^{2} + 1}

在 x ≠ 0 的區間上使用連鎖律。

常見錯誤

  • • 把 arctan(x) 改成 1/tan(x)。前者是反函數，後者是倒數。
  • • 在 1+[g(x)]² 中，忘記將完整的內層輸入平方。
  • • 套用角度制的微分常數。標準微積分公式以弧度為前提。

用計算機試算同一道題

每個連結都會開啟對應計算機，並帶入完整算式、變數與必要條件。

微分:arctan⁡(2 x)\arctan\left(2\,x\right)
開啟未填入範例的計算機: 微分