微分方法

如何使用連鎖律：步驟與例題

複合函數的變化有不同層次。外層回應輸入的變化，內層決定這個輸入改變的速度。連鎖律將兩個變化率相乘。

先看結論

若 y=f(g(x))，則 y′=f′(g(x))g′(x)。

當一個可微分函數作為另一個可微分函數的輸入時，使用連鎖律。

連鎖律還是乘積法則？

微分前先看最外層運算。一個函數以另一函數為輸入，是複合；兩個函數因子相乘，才是乘積。

先確認 1

表示式可以寫成 f(g(x)) 嗎？

接下來怎麼做

使用連鎖律：在 g(x) 處計算外層導數，再乘上 g′(x)。

先確認 2

是否有兩個依賴 x 的因子相乘？

接下來怎麼做

先使用乘積法則，再在各複合因子內使用連鎖律。

先確認 3

是否有三層以上的巢狀函數？

接下來怎麼做

由外向內，每次微分一層，並將每層的變化率全部相乘。

完整例題：y=(x²+1)³

將內層命名為 u=x²+1，外層為 y=u³。分開寫能避免漏掉內層導數。

外層對 u 微分，得到 dy/du=3u²；內層對 x 微分，得到 du/dx=2x。

相乘並代回 u：dy/dx=(3u²)(2x)=6x(x²+1)²。這不是乘積法則，因為原表示式是複合函數，不是兩個函數相乘。

1
u = x² + 1, y = u³
2
dy/du = 3u², du/dx = 2x
3
dydx=6 x (x2+1)2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 6\,x\,\left(x^{2} + 1\right)^{2}

解題範例

ddx[sin⁡(x2)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sin\left(x^{2}\right)\right]
2x cos(x²)

外層導數為餘弦，內層導數為 2x。

ddx[e3 x+1]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[e^{3\,x + 1}\right]
3 e3 x+13\,e^{3\,x + 1}

指數函數保留原式，內層導數提供係數 3。

ddx[(ln⁡x)2]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\left(\ln x\right)^{2}\right]
2 ln⁡xx\frac{2\,\ln x}{x}

先對平方微分，再對對數微分；實數微積分中須 x>0。

常見錯誤

  • • 只對外層微分，忘記乘上內層導數。
  • • 只因看到兩層就使用乘積法則；複合與相乘是不同結構。
  • • 微分後改變了內層表示式，而沒有在外層導數中保留原輸入。

錯誤診斷：保留內層表示式

錯誤嘗試

[sin(x²)]′ = cos(x²)

錯在哪裡

只對外層正弦微分，漏掉 x² 的變化率。

正確處理

[sin(x²)]′ = 2x cos(x²)

錯誤嘗試

[(x²+1)³]′ = 3(x²+1)²

錯在哪裡

外層冪法則正確，但漏掉內層導數 2x。

正確處理

[(x²+1)³]′ = 6x(x²+1)²

逐層練習

揭示答案前，先指出內、外層函數。第二題需要三個變化率，而不只是兩個。

ddx[ln⁡(x2+4)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\ln\left(x^{2} + 4\right)\right]

作答前檢查

先對 ln(u) 微分，再對 u=x²+4 微分。

查看參考答案

參考答案

2 xx2+4\frac{2\,x}{x^{2} + 4}
ddx[sin⁡((x2+1)3)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sin\left(\left(x^{2} + 1\right)^{3}\right)\right]

作答前檢查

清楚保留三層：正弦、三次方與二次式。

查看參考答案

參考答案

6 x (x2+1)2 cos⁡((x2+1)3)6\,x\,\left(x^{2} + 1\right)^{2}\,\cos\left(\left(x^{2} + 1\right)^{3}\right)

用計算機試算同一道題

每個連結都會開啟對應計算機，並帶入完整算式、變數與必要條件。

連鎖律計算機:(x2+1)3\left(x^{2} + 1\right)^{3}
開啟未填入範例的計算機: 連鎖律計算機

參考資料

常見問題

如何辨認複合函數？+

試著將內層表示式命名為 u。如果其餘部分變成熟悉的 u 函數，這個表示式就是複合函數。

同一道題可能同時需要乘積法則與連鎖律嗎？+

可以。先對最外層乘積使用對應法則，再在複合因子內使用連鎖律。

為什麼內層表示式不能改變？+

外層導數是在原本的內層輸入處計算。輸入改變的速度，由額外相乘的因子表示。

重點整理

將複合函數的導數逐層閱讀。保留每個內層輸入，乘上每個內層變化率，再依最外層運算區分連鎖律與乘積法則。

比較使用方案