自然對數

ln(x) 的導數：公式、證明與例題

自然對數是指數函數的反函數。x 相同倍率的變化，對應到 ln(x) 相同的增量，因此其導數是倒數形式。

先看結論

ddx[ln⁡x]=1x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\ln x\right] = \frac{1}{x}

實數範圍的 ln(x) 要求 x > 0。

利用反函數微分證明

設 y = ln(x)，反函數關係為 x = exp(y)。兩邊同時對 x 微分。

連鎖律給出 1 = exp(y) · dy/dx。由於 exp(y) = x，除以 x 得到 dy/dx = 1/x。

對 ln|x|，相同的導數在任何不跨越零的實數區間上成立。因此 1/x 的原函數是 ln|x| + C，不能只寫 ln(x) + C。

1
y = ln(x) ⇔ x = exp(y)
2
1 = exp(y) · dy/dx
3
dydx=1x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{x}

解題範例

ddx[ln⁡(5 x)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\ln\left(5\,x\right)\right]
1x\frac{1}{x}

使用連鎖律後，常數 5 會約掉。

ddx[ln⁡(x2+1)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\ln\left(x^{2} + 1\right)\right]
2 xx2+1\frac{2\,x}{x^{2} + 1}

先對內層表示式微分，再除以該表示式。

ddx[(ln⁡x)2]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\left(\ln x\right)^{2}\right]
2 ln⁡xx\frac{2\,\ln x}{x}

先使用外層冪法則，再使用對數微分公式。

常見錯誤

  • • 在實數微積分中，將 ln(x) 用於 x < 0；ln|x| 是另一個定義域更大的函數。
  • • 以為計算機上所有 log 按鈕都表示以 10 為底。在 CalculusMate 中，ln 與 log 都解析為以 e 為底的自然對數。
  • • 在 ln(g(x)) 中漏掉內層導數；結果應為 g′(x)/g(x)。

用計算機試算同一道題

每個連結都會開啟對應計算機，並帶入完整算式、變數與必要條件。

微分:ln⁡(x2+1)\ln\left(x^{2} + 1\right)
開啟未填入範例的計算機: 微分