Logaritmos naturales

Derivada de ln(x): fórmula, demostración y ejemplos

El logaritmo natural es la función inversa de la exponencial. Su derivada es un recíproco porque cambios multiplicativos iguales en x se convierten en cambios aditivos iguales en ln(x).

Respuesta directa

ddx[ln⁡x]=1x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\ln x\right] = \frac{1}{x}

Para ln(x) real, x > 0.

Demostración mediante derivación de la función inversa

Sea y = ln(x). La relación inversa es x = exp(y). Deriva ambos lados respecto de x.

La regla de la cadena da 1 = exp(y) · dy/dx. Como exp(y) = x, divide entre x para obtener dy/dx = 1/x.

Para ln|x|, la misma derivada se cumple en cualquier intervalo real que no cruce cero. Por eso la primitiva de 1/x es ln|x| + C y no solamente ln(x) + C.

1
y = ln(x) ⇔ x = exp(y)
2
1 = exp(y) · dy/dx
3
dydx=1x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{x}

Ejemplos resueltos

ddx[ln⁡(5 x)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\ln\left(5\,x\right)\right]
1x\frac{1}{x}

La constante 5 se cancela después de aplicar la regla de la cadena.

ddx[ln⁡(x2+1)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\ln\left(x^{2} + 1\right)\right]
2 xx2+1\frac{2\,x}{x^{2} + 1}

Deriva la expresión interior y divide entre ella.

ddx[(ln⁡x)2]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\left(\ln x\right)^{2}\right]
2 ln⁡xx\frac{2\,\ln x}{x}

Aplica la regla de la potencia exterior y después la del logaritmo.

Errores comunes

  • • Escribir ln(x) para x < 0 en cálculo real; ln|x| es otra función con un dominio más amplio.
  • • Suponer que todo botón log usa base 10. En CalculusMate, ln y log se interpretan como el logaritmo natural de base e.
  • • Olvidar la derivada interior de ln(g(x)): el resultado es g′(x)/g(x).

Prueba los ejemplos en la calculadora

Cada enlace abre la calculadora correspondiente con la expresión, la variable y las condiciones necesarias ya completadas.

Derivadas:ln⁡(x2+1)\ln\left(x^{2} + 1\right)
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