Aprender cálculo
Derivada de cot(x): regla del cociente, signo y regla de la cadena
d/dx cot(x)=−csc²(x). Para cot(g(x)), multiplica por g′(x).
Utiliza radianes y excluye sin(x)=0. En una composición, excluye sin(g(x))=0.
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Aprende por qué funciona cada regla, no solo la respuesta
Consulta demostraciones breves, condiciones, ejemplos resueltos y errores comunes; después prueba el mismo problema en la calculadora.
Fórmulas y métodos de derivación
Aprender cálculo
Derivada de csc(x): regla del recíproco y funciones compuestas
d/dx csc(x)=−csc(x)cot(x)=−cos(x)/sin²(x).
Los ángulos se expresan en radianes; sin(x) no puede ser cero.
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Derivada de arcsin(x): demostración con la función inversa y límites en los extremos
d/dx arcsin(x)=1/√(1−x²), para −1<x<1.
La función real está definida en [−1,1], pero solo tiene una derivada bilateral finita en el interior.
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Derivada de arccos(x): signo negativo, dominio y regla de la cadena
d/dx arccos(x)=−1/√(1−x²), para −1<x<1.
El rango principal real de arccos es [0,π]. La función existe en los extremos, pero allí no se aplica la fórmula de la derivada finita.
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Derivada del logaritmo de base a: cambio de base y derivadas interiores
d/dx log_a(x)=1/[x ln(a)] para a>0, a≠1 y x>0.
La base es una constante positiva distinta de uno. Una base variable requiere otra derivada.
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Derivadas de funciones hiperbólicas: sinh, cosh y tanh
(sinh x)′=cosh x, (cosh x)′=sinh x y (tanh x)′=1/cosh²x.
Estas tres funciones reales están definidas para todo x real. Las funciones hiperbólicas no son funciones trigonométricas periódicas.
Leer la guíaDerivadas exponenciales
Derivada de exp(x): por qué eˣ es su propia derivada
Para aˣ real, a>0; exp(g(x)) también requiere g′(x).
Leer la guíaReglas básicas de derivación
Regla de la potencia para derivadas: exponentes y condiciones
d/dx xⁿ = nxⁿ⁻¹
El intervalo real debe admitir la potencia original; una base compuesta también requiere la regla de la cadena.
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Métodos de derivación
Cómo usar la regla del producto sin perder un término
(fg)′ = f′g + fg′
Ambos factores pueden depender de x; un factor realmente constante puede sacarse fuera.
Leer la guíaMétodos de derivación
Cómo usar la regla del cociente y conservar el orden
(f/g)′ = (f′g − fg′)/g²
El denominador g(x) no puede ser cero.
Leer la guíaDerivadas de orden superior
Cómo calcular una segunda derivada paso a paso
f″(x) = d/dx [f′(x)]
La primera derivada debe ser derivable en el intervalo.
Leer la guíaDerivadas de raíces
Derivada de √x: fórmula, dominio y x=0
d/dx √x = 1/(2√x)
En los reales, √x existe para x≥0, pero esta derivada finita requiere x>0.
Leer la guíaDerivadas por tramos
Derivada de |x|: regla por tramos y esquina en cero
d/dx |x| = x/|x| para x≠0; no está definida en x=0
La fórmula excluye cero; cada cero de una expresión interior compuesta requiere análisis directo.
Leer la guíaDerivadas trigonométricas
Derivada de sin(x): por qué es cos(x)
La fórmula habitual supone radianes; sin(g(x)) también requiere multiplicar por g′(x).
Leer la guíaDerivadas trigonométricas
Derivada de cos(x): de dónde sale el signo negativo
La fórmula habitual supone radianes; cos(g(x)) también requiere g′(x).
Leer la guíaDerivadas de recíprocos
Derivada de 1/x: regla de la potencia, regla de la cadena y dominio
La función y su derivada solo están definidas para x ≠ 0. Para 1/g(x), se requiere g(x) ≠ 0 y que g sea derivable.
Leer la guíaLogaritmos naturales
Derivada de ln(x): fórmula, demostración y ejemplos
Para ln(x) real, x > 0.
Leer la guíaFunciones trigonométricas inversas
Derivada de arctan(x): fórmula, demostración y ejemplos
Válida para todo x real; los ángulos se miden en radianes.
Leer la guíaDerivadas trigonométricas
Derivada de tan(x): fórmula, demostración y ejemplos
Se requiere cos(x) ≠ 0; los ángulos se miden en radianes.
Leer la guíaFunciones trigonométricas recíprocas
Derivada de sec(x): fórmula, demostración y ejemplos
Se requiere cos(x) ≠ 0; los ángulos se miden en radianes.
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Métodos de derivación
Cómo calcular derivadas parciales: pasos y ejemplos
Elige una variable y mantén constantes las demás variables independientes.
Una derivada parcial describe el cambio en una dirección independiente mientras las demás variables independientes permanecen fijas.
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Métodos de derivación
Cómo usar la regla de la cadena: pasos y ejemplos
Si y=f(g(x)), entonces y′=f′(g(x))g′(x).
Usa la regla de la cadena cuando una función derivable se evalúa dentro de otra función derivable.
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Métodos de derivación
Cómo hacer derivación implícita: pasos y ejemplos
Deriva ambos lados, reúne todos los términos con y′ y despeja y′.
Una fórmula local de pendiente para y=y(x) requiere que el coeficiente de y′ no sea cero en el punto estudiado.
Leer la guíaErrores de la regla de la cadena
¿Por qué se multiplica por la derivada de la función interior?
Para y=f(g(x)), multiplica por g'(x): la entrada de f cambia a la tasa g'(x), no a una unidad por cada unidad de x.
La regla se aplica cuando una función derivable se evalúa dentro de otra; cada capa anidada no trivial aporta un factor.
Leer la guíaElegir una regla de derivación
Regla de la cadena y regla del producto: cómo distinguirlas
Usa la regla de la cadena para f(g(x)), la del producto para f(x)g(x) y ambas cuando un factor del producto contiene una composición.
Identifica la operación principal antes de derivar: aplicar una función a otra es composición; un producto explícito une factores separados.
Leer la guíaSignificado de la derivada parcial
¿Por qué las otras variables se mantienen constantes al derivar parcialmente?
Una derivada parcial mide el cambio en una dirección de coordenadas, por lo que durante esa medición se mantienen fijas las otras variables independientes.
Esta interpretación supone que las variables indicadas son coordenadas independientes; una relación de restricción entre ellas requiere otro análisis.
Leer la guíaElegir la variable activa
Derivada parcial respecto de x frente a respecto de y
Respecto de x, mantén y fija; respecto de y, mantén x fija. La misma expresión puede dar dos derivadas distintas y válidas.
Identifica siempre la variable activa antes de aplicar las reglas de derivación y conserva las otras variables que actúan como coeficientes.
Leer la guíaMétodos de integración e integrales definidas
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Sustitución trigonométrica: cómo elegirla y definir su dominio
Usa x=a sin θ para √(a²−x²), x=a tan θ para √(a²+x²) o x=a sec θ para √(x²−a²).
Supón a>0 y elige un intervalo angular donde la sustitución sea uno a uno. Las raíces cuadradas son no negativas: √(u²)=|u|.
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Integración de funciones racionales: división, fracciones parciales y dominios
Divide primero si hace falta, descompón la fracción propia y después integra sus partes más sencillas.
El denominador no puede ser cero. Una primitiva se aplica por separado en cada intervalo del dominio original.
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Integrales impropias: límites infinitos, singularidades y convergencia
Sustituye cada extremo infinito o singular por su propio límite. Todos los límites necesarios deben converger.
Divide en cada singularidad interior. El valor principal de Cauchy no es la integral impropia ordinaria.
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Área entre curvas: intersecciones, curva superior menos inferior y división del intervalo
A=∫ₐᵇ |f(x)−g(x)| dx. Divide donde las curvas superior e inferior intercambien posiciones.
Las curvas deben ser integrables en el intervalo finito elegido. El área geométrica es no negativa y se expresa en unidades cuadradas.
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Volúmenes de revolución: plantear discos, arandelas y capas cilíndricas
Al girar alrededor del eje x con radios no negativos, V=π∫ₐᵇ [R(x)²−r(x)²] dx.
Usa cortes perpendiculares para discos y arandelas, y paralelos para capas cilíndricas. Las distancias se miden desde el eje de giro indicado.
Leer la guíaMétodos de integración
Integración por sustitución: encontrar la derivada interior que encaja
Si u=g(x), entonces ∫f(g(x))g′(x)dx=∫f(u)du
La sustitución debe incluir el factor diferencial y conservar o transformar los límites.
Leer la guíaMétodos de integración
Integración por partes: elegir u y dv
Elige dv para que pueda integrarse y u para que derivarlo simplifique la integral restante.
Leer la guíaIntegrales logarítmicas
Integral de 1/x: por qué es ln|x| + C
El integrando solo está definido para x≠0, de modo que las primitivas se aplican en intervalos que no crucen cero.
Leer la guíaIntegrales trigonométricas
Integrales de sin(x) y cos(x): signos y factores
∫sin(x)dx=−cos(x)+C; ∫cos(x)dx=sin(x)+C
Para sin(ax+b) o cos(ax+b), divide entre la pendiente interior no nula a.
Leer la guíaMétodos de integración definida
Cómo evaluar integrales definidas: límites y pasos resueltos
Esta forma del teorema fundamental se aplica cuando f es continua en el intervalo cerrado finito y F′=f. Las singularidades y las integrales impropias requieren análisis aparte.
Leer la guíaMétodos de integración
Sustitución con u o integración por partes: cómo elegir
Usa sustitución para el patrón compuesto f(g(x))g′(x); usa integración por partes cuando un producto se simplifica al derivar uno de sus factores.
Este criterio ayuda a elegir un método; no garantiza que cualquiera de las dos técnicas resuelva todas las integrales.
Leer la guíaIntegrales definidas
Por qué una integral definida no siempre es el área total
Una integral definida da el área neta con signo; el área total suma las magnitudes de las regiones situadas por encima y por debajo del eje.
Si el integrando cambia de signo en el intervalo, divide en cada cero relevante antes de calcular el área total.
Leer la guíaLímites y comportamiento lateral
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Teorema del sándwich: acotar una función oscilante cerca de un punto
Si g(x)≤f(x)≤h(x) cerca de a y ambas funciones exteriores tienden a L, entonces f(x) tiende a L.
Las desigualdades deben cumplirse en todo un entorno reducido del punto, no solo en algunos puntos de muestra.
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Límites en el infinito: términos principales, signos y asíntotas horizontales
En una función racional, compara los grados del numerador y del denominador; si son iguales, el límite es el cociente de sus coeficientes principales.
El comportamiento en +∞ y en −∞ puede ser distinto. Son límites, no evaluaciones en un valor numérico llamado infinito.
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Continuidad y discontinuidades: valores, límites, huecos y saltos
En un punto interior a, la continuidad requiere que existan f(a) y lim x→a f(x), y que ambos coincidan.
En un extremo del dominio, usa la condición lateral correspondiente. Continuidad y derivabilidad son propiedades distintas.
Leer la guíaLímites algebraicos
Límites por factorización: eliminar un hueco correctamente
Factoriza, cancela el factor común no nulo cerca del punto y después evalúa.
La cancelación solo es válida para x cercanos donde el factor cancelado no sea cero.
Leer la guíaLímites laterales
Límites laterales: estudiar izquierda y derecha por separado
Un límite bilateral solo existe cuando coinciden los límites por la izquierda y por la derecha.
El valor de la función en el punto no determina ninguno de los límites laterales.
Leer la guíaMétodos para límites
Cuándo usar la regla de L’Hôpital y cuándo no
Usa L’Hôpital solo tras obtener 0/0 o ∞/∞ y comprobar sus hipótesis.
El cociente debe tener una forma indeterminada admisible y el cociente de las derivadas debe tener sentido cerca del punto.
Leer la guíaLímites laterales
Si los límites laterales son distintos, el límite no existe
Un límite bilateral existe solo cuando los límites por la izquierda y por la derecha se aproximan al mismo valor.
Comprueba ambas direcciones por separado siempre que la expresión cambie de comportamiento a cada lado del punto.
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