Derivadas trigonométricas

Derivada de tan(x): fórmula, demostración y ejemplos

La derivada de la tangente se comprueba fácilmente escribiendo tan(x)=sin(x)/cos(x). Los mismos puntos excluidos de la tangente siguen excluidos de la fórmula de su derivada.

Respuesta directa

ddx[tan⁡x]=sec⁡2x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\tan x\right] = \sec^{2} x

Se requiere cos(x) ≠ 0; los ángulos se miden en radianes.

Demostración con la regla del cociente

Reescribe la tangente como sin(x)/cos(x) y deriva el cociente.

El numerador se convierte en cos²(x)+sin²(x), que vale 1. El denominador es cos²(x).

Por tanto, la derivada es 1/cos²(x)=sec²(x) en los puntos donde el coseno no es cero.

1
(sin x / cos x)' = (cos²x + sin²x)/cos²x
2
= 1/cos²(x)
3
= sec²(x)

Ejemplos resueltos

ddx[tan⁡(3 x)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\tan\left(3\,x\right)\right]
3 sec2 3 x3\,\mathrm{sec}^{2}\,3\,x

Multiplica por la derivada interior 3.

ddx[tan⁡(x2)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\tan\left(x^{2}\right)\right]
2 x sec⁡2(x2)2\,x\,\sec^{2}\left(x^{2}\right)

Conserva toda la entrada interior dentro de sec².

ddx[tan⁡2x]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\tan^{2} x\right]
2 tan⁡x sec⁡2x2\,\tan x\,\sec^{2} x

Aplica la regla de la potencia y después la de la tangente.

Errores comunes

  • • Escribir sec(x) en lugar de sec²(x).
  • • Omitir la restricción cos(x) ≠ 0.
  • • Olvidar la derivada interior en tan(g(x)).

Prueba los ejemplos en la calculadora

Cada enlace abre la calculadora correspondiente con la expresión, la variable y las condiciones necesarias ya completadas.

Derivadas:tan⁡(3 x)\tan\left(3\,x\right)
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