三角函數的導數

tan(x) 的導數：公式、證明與例題

將 tan(x) 寫成 sin(x)/cos(x)，最容易檢查正切函數的導數。原函數排除的點，在導數公式中仍須排除。

先看結論

ddx[tan⁡x]=sec⁡2x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\tan x\right] = \sec^{2} x

要求 cos(x) ≠ 0；角度以弧度表示。

利用商法則證明

將正切改寫成 sin(x)/cos(x)，再對這個商微分。

分子變為 cos²(x)+sin²(x)，等於 1；分母為 cos²(x)。

因此在 cos(x) 不為零的點，導數為 1/cos²(x)=sec²(x)。

1
(sin x / cos x)' = (cos²x + sin²x)/cos²x
2
= 1/cos²(x)
3
= sec²(x)

解題範例

ddx[tan⁡(3 x)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\tan\left(3\,x\right)\right]
3 sec2 3 x3\,\mathrm{sec}^{2}\,3\,x

乘上內層導數 3。

ddx[tan⁡(x2)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\tan\left(x^{2}\right)\right]
2 x sec⁡2(x2)2\,x\,\sec^{2}\left(x^{2}\right)

在 sec² 裡保留完整的內層輸入。

ddx[tan⁡2x]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\tan^{2} x\right]
2 tan⁡x sec⁡2x2\,\tan x\,\sec^{2} x

先使用冪法則，再使用正切的微分公式。

常見錯誤

  • • 把 sec²(x) 寫成 sec(x)。
  • • 省略 cos(x) ≠ 0 的限制。
  • • 在 tan(g(x)) 中漏掉內層導數。

用計算機試算同一道題

每個連結都會開啟對應計算機，並帶入完整算式、變數與必要條件。

微分:tan⁡(3 x)\tan\left(3\,x\right)
開啟未填入範例的計算機: 微分