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Teorema del sándwich: acotar una función oscilante cerca de un punto
El teorema del sándwich permite demostrar un límite cuando la sustitución directa no resuelve un factor oscilante. En lugar de evaluar cada oscilación, acota toda la expresión con funciones cuyos límites ya conozcas.
Respuesta directa
Las desigualdades deben cumplirse en todo un entorno reducido del punto, no solo en algunos puntos de muestra.
Teorema del sándwich paso a paso
Para x² sin(1/x) con x≠0, usa −1≤sin(1/x)≤1. Como x² es no negativo, multiplicar conserva la desigualdad.
Así resulta −x²≤x² sin(1/x)≤x². Ambos extremos tienden a cero cuando x→0, por lo que el límite de la expresión central es cero.
Para x sin(1/x), usa |x sin(1/x)|≤|x|. Multiplicar −1≤sin≤1 por x negativo invierte las desigualdades; el valor absoluto evita ese error.
Para sin(1/x) sin un factor que tienda a cero, las cotas simples −1 y 1 tienden a valores distintos y no demuestran nada. De hecho, hay sucesiones que se acercan a cero y hacen que el seno valga 1 o −1.
Una envolvente dibujada o muestreada es una pista, no una prueba de la desigualdad en todo el entorno. Escribe explícitamente la cota y su límite.
Ejemplos resueltos
Acota entre ±x².
Usa la cota con valor absoluto.
Distintas subsucesiones tienen límites distintos.
Errores comunes
- • Usar cotas con límites distintos.
- • Comprobar solo unos pocos puntos numéricos.
- • Multiplicar una desigualdad por una cantidad negativa sin invertirla.
Prueba el ejemplo compatible con la calculadora
El enlace carga una expresión compatible con su variable y sus condiciones. Los demás ejemplos son explicaciones de referencia, no una garantía de que el motor admita todos los métodos.
El botón evalúa la cota x²→0, no la función oscilante. Actualmente el motor no certifica demostraciones arbitrarias mediante el teorema del sándwich.
Abrir la calculadora sin un ejemplo: LímitesReferencias
Preguntas frecuentes
¿Una cota que no sirve significa que el límite no existe?+
No. Puede que la cota sea simplemente demasiado débil.
¿La función debe estar definida en a?+
No. La desigualdad y el límite se refieren a puntos cercanos.
¿La calculadora certifica cualquier argumento de acotación?+
No. El ejemplo comprueba una función de cota sencilla. La demostración oscilatoria de esta página es una referencia didáctica, no una afirmación sobre el motor.
Conclusión
El teorema del sándwich parte del dominio y las condiciones indicados. Vuelve a comprobarlos antes de aplicar un ejemplo resuelto a otro problema.
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