Límites laterales

Si los límites laterales son distintos, el límite no existe

Un límite bilateral exige dos cosas a la vez: los valores que se aproximan por la izquierda y por la derecha deben dirigirse al mismo valor. No basta con estudiar un lado, y el valor de la función en el punto no puede corregir una discrepancia entre direcciones.

Respuesta directa

Un límite bilateral existe solo cuando los límites por la izquierda y por la derecha se aproximan al mismo valor.

Comprueba ambas direcciones por separado siempre que la expresión cambie de comportamiento a cada lado del punto.

Comparación resuelta: 1/x cuando x se aproxima a 0

Para x negativo cerca de cero, 1/x es negativo y su magnitud crece, por lo que el límite por la izquierda es −∞. Para x positivo cerca de cero, 1/x es positivo y su magnitud crece: el límite por la derecha es +∞.

Como las dos direcciones no coinciden, el límite bilateral no existe. Escribir «∞» como resultado bilateral ocultaría los signos opuestos y sería incorrecto.

El mismo criterio sirve para los saltos finitos. Si un lado se aproxima a 2 y el otro a 5, ni el valor de la función ni la media de 2 y 5 constituyen el límite. Los dos lados deben coincidir.

Un hueco removible es distinto. Si los dos lados se aproximan al mismo número, el límite puede existir aunque la función no esté definida allí o tenga otro valor asignado.

1
lim x→0⁻ 1/x = −∞
2
lim x→0⁺ 1/x = +∞
3
Direcciones distintas → el límite bilateral no existe

Ejemplos resueltos

lim x→0⁻ 1/x
−∞-\infty

Al aproximarse con valores negativos, el recíproco sigue siendo negativo.

lim x→0⁺ 1/x
∞\infty

Al aproximarse con valores positivos, el recíproco sigue siendo positivo.

lim x→1 (x²−1)/(x−1)
22

Tras cancelar, los dos lados se aproximan al mismo valor, aunque la expresión original tenga un hueco.

Errores comunes

  • • Comprobar únicamente el lado más fácil de evaluar.
  • • Usar el valor de la función en el punto como límite sin examinar los valores próximos.
  • • Tratar dos direcciones infinitas opuestas como un mismo límite infinito.
  • • Suponer que todo valor de función no definido impide la existencia del límite.

Prueba los ejemplos en la calculadora

Cada enlace abre la calculadora correspondiente con la expresión, la variable y las condiciones necesarias ya completadas.

Límites:1x\frac{1}{x}Límites:1x\frac{1}{x}Límites:1x\frac{1}{x}
Abrir la calculadora sin un ejemplo: Límites

Referencias

Preguntas frecuentes

¿Puede existir el límite bilateral si la función no está definida?+

Sí. El límite depende de los valores próximos. Si coinciden los dos límites laterales, la ausencia de un valor en el punto no impide que exista el límite.

¿Qué ocurre si un lado es finito y el otro infinito?+

Las direcciones no coinciden, por lo que el límite bilateral no existe.

¿Una discontinuidad de salto siempre impide el límite bilateral?+

En el punto del salto, sí: los lados se aproximan a valores finitos distintos. En otros puntos pueden seguir existiendo límites.

Conclusión

Calcula los dos límites laterales antes de dar un resultado bilateral. Si coinciden, establecen el límite; cualquier discrepancia direccional significa que el límite bilateral no existe en ese punto.

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