單側極限
左右極限不同時，雙側極限不存在
雙側極限同時要求兩件事：由左側與右側趨近的值，都必須走向同一個目標。只找到一側不夠；該點的函數值，也不能修補兩側極限的不一致。
先看結論
只有左極限與右極限趨近相同值時，雙側極限才存在。
表示式在趨近點兩側行為不同時，必須分別檢查兩個方向。
完整比較：x 趨近 0 時的 1/x
x 為接近零的負數時，1/x 為負且絕對值增大，因此左極限為 −∞。x 為接近零的正數時，1/x 為正且增大，因此右極限為 +∞。
兩個方向不相同，因此雙側極限不存在。將雙側結果寫成「∞」，會隱藏相反的正負號，是不正確的。
有限的跳躍也用相同判斷。若左側趨近 2、右側趨近 5，該點函數值或 2 與 5 的平均，都不是極限。兩側必須一致。
可去的空點則不同。如果兩側趨近同一個數，即使該點函數未定義，或被指定不同數值，極限仍可能存在。
1
lim x→0⁻ 1/x = −∞
2
lim x→0⁺ 1/x = +∞
3
兩個方向不同 → 雙側極限不存在
解題範例
lim x→0⁻ 1/x
由負數輸入趨近時，倒數保持為負。
lim x→0⁺ 1/x
由正數輸入趨近時，倒數保持為正。
lim x→1 (x²−1)/(x−1)
約分後兩側都趨近相同值，即使原表示式有空點，極限仍存在。
常見錯誤
- • 只檢查較容易計算的一側。
- • 未檢查附近值，就把該點函數值當成極限。
- • 將相反方向的無窮發散視為同一個無窮極限。
- • 以為只要函數值未定義，極限就不存在。
用計算機試算同一道題
每個連結都會開啟對應計算機，並帶入完整算式、變數與必要條件。
開啟未填入範例的計算機: 極限參考資料
常見問題
函數未定義時，雙側極限仍能存在嗎？+
可以。極限取決於附近值。如果兩個單側極限一致，缺少該點函數值不會阻止極限存在。
一側有限、另一側無窮大時呢？+
兩側不一致，因此雙側極限不存在。
跳躍不連續一定使雙側極限不存在嗎？+
在跳躍點，是的：左右側趨近不同的有限值。但在該點以外，其他極限仍可能存在。
重點整理
報告雙側極限前，先計算兩個方向。相同的值能確立極限；只要方向不一致，該點的雙側極限就不存在。
比較使用方案