微積分學習

夾擠定理：在趨近點附近夾住振盪函數

不必。不等式與極限關注的是附近的點。

振盪因子使直接代入無法判斷極限時，可以用夾擠定理證明極限。與其逐一追蹤振盪，不如用極限已知的函數，將整個表示式夾住。

先看結論

若 a 附近有 g(x)≤f(x)≤h(x)，且外側兩個函數都趨近 L，則 f(x) 也趨近 L。

不等式必須在整個去心鄰域成立，不能只在選出的幾個樣本點成立。

夾擠定理的完整應用步驟

對 x≠0 時的 x² sin(1/x)，利用 −1≤sin(1/x)≤1。因為 x² 非負，乘上它不會改變不等號方向。

因此 −x²≤x² sin(1/x)≤x²。x→0 時，兩個界都趨近零，所以中間的極限也為零。

對 x sin(1/x)，利用 |x sin(1/x)|≤|x|。若用負的 x 乘上 −1≤sin≤1，就須反轉不等號；使用絕對值可以避免這個錯誤。

對沒有衰減因子的 sin(1/x)，簡單的上下界 −1 與 1 趨近不同值，因此不能證明極限。實際上，可找到趨近零的數列，使正弦值分別為 1 或 −1。

圖形或取樣顯示的包絡線只能提供線索，不能證明整個鄰域的不等式。須明確寫出上下界及其極限。

−x²≤x²sin(1/x)≤x²

lim x→0 x²sin(1/x)=0

|xsin(1/x)|≤|x|→0

lim x→0 x² sin(1/x)

0

用 ±x² 夾住。

lim x→0 x sin(1/x)

0

使用絕對值的不等式。

lim x→0 sin(1/x)

不存在

不同子數列有不同極限。

範例會帶入計算機支援的算式、變數與條件。指南中的其他解說是數學參考，不代表計算引擎支援所有方法。

按鈕計算的是上界 x²→0，而不是振盪的目標函數。目前規則引擎不會驗證任意夾擠證明。

x^{2}

找到的上下界無法夾擠，就表示極限不存在嗎？+

不表示。也可能只是這組界太寬，無法得到結論。

函數必須在 a 有定義嗎？+

不必。不等式與極限關注的是附近的點。

計算機會驗證每個夾擠證明嗎？+

不會。預填例題只檢查簡單的上界函數。本篇振盪函數的證明是供閱讀的教學參考，不代表引擎能驗證它。

使用夾擠定理前，先確認題目列出的定義域與條件。將例題的方法用在另一題時，也要重新檢查這些限制。