單側極限
單側極限：分別判讀左側與右側
單側極限限制輸入只能從一個方向接近。它能揭示雙側敘述可能隱藏的跳躍、垂直漸近線與定義域邊界。
先看結論
只有左、右極限相同時，雙側極限才存在。
目標點的函數值不能決定任一單側極限。
什麼時候使用如何判讀單側極限？
操作符號前，先從最外層的數學結構選擇方法。條件是題目的一部分，不是可省略的附註。
先確認 1
哪個結構決定方法？
接下來怎麼做
在跳躍、漸近線、分段邊界與端點附近，使用單側極限。
先確認 2
哪些條件會改變答案？
接下來怎麼做
目標點的函數值不能決定任一單側極限。
先確認 3
應該如何檢查結果？
接下來怎麼做
記錄接近方向，先比較兩個單側結果，再寫雙側答案。
比較兩個接近方向
只使用小於目標點的 x 值，計算左極限。
只使用大於目標點的 x 值，計算右極限。
兩個單側極限都存在且相等，恰好是有限雙側極限存在的條件。
若正負號或有限值不同，應說明雙側極限不存在，並保留兩個單側結果。
1
lim x→a− f(x)=L−
2
lim x→a+ f(x)=L+
3
lim x→a f(x) 要求 L−=L+
解題範例
lim x→0+ 1/x
正值輸入產生正向無界的函數值。
lim x→0− 1/x
負值輸入產生負向無界的函數值。
lim x→0 |x|/x
不存在
左極限為 −1，右極限為 1。
常見錯誤
- • 只檢查一個方向。
- • 將該點函數值當成極限。
- • 寫無窮大卻不標正負號。
- • 將不同的單側極限取平均。
錯誤診斷：找出第一個不成立的步驟
錯誤嘗試
lim x→0 1/x=∞
錯在哪裡
兩個方向的正負號相反。
正確處理
左極限為 −∞，右極限為 +∞，因此雙側極限不存在。
錯誤嘗試
lim x→0 |x|/x=0
錯在哪裡
函數值或平均值不能取代單側行為。
正確處理
左極限為 −1，右極限為 1，極限不存在。
改變結構，練習相同概念
揭示參考答案前，先指出法則及其條件，並解釋每個正負號與因子。
lim x→0− 1/x
作答前檢查
負值輸入產生負向無界的函數值。
查看參考答案
參考答案
lim x→0 |x|/x
作答前檢查
左極限為 −1，右極限為 1。
查看參考答案
參考答案
不存在
用計算機試算同一道題
每個連結都會開啟對應計算機，並帶入完整算式、變數與必要條件。
開啟未填入範例的計算機: 極限常見問題
函數一定要在目標點有定義嗎？+
不一定，極限取決於附近的值，不必取決於該點值。
兩側都是無窮大，仍可能不同嗎？+
可以。+∞ 與 −∞ 是不同的方向行為，因此沒有共同的雙側極限。
為什麼在定義域端點要指定左側或右側？+
可能只有一個方向包含有效的定義域點。
重點整理
明確計算兩個方向，保留正負號；只有單側結果一致時，才宣告雙側極限存在。
比較使用方案