代數極限
因式分解求極限：正確處理可去除的空點
代入得到 0/0 並不是極限的答案。多項式商出現這種形式，通常表示有可約去的公因式。
先看結論
分解因式，在目標附近約去非零的公因式，再求值。
只有在附近 x 使被約去因式不為零時，約分才有效。
什麼時候使用因式分解求極限？
操作符號前，先從最外層的數學結構選擇方法。條件是題目的一部分，不是可省略的附註。
先確認 1
哪個結構決定方法？
接下來怎麼做
分子與分母都是多項式，且在目標點同時為零時，嘗試因式分解。
先確認 2
哪些條件會改變答案？
接下來怎麼做
只有在附近 x 使被約去因式不為零時，約分才有效。
先確認 3
應該如何檢查結果？
接下來怎麼做
註明約分時排除的點，並比較左右方向。
使用去心鄰域
對 (x²−1)/(x−1)，直接代入 1 得到 0/0。
分解 x²−1=(x−1)(x+1)。
x≠1 時，商等於 x+1，因此附近的函數值相同。
將 1 代入 x+1，得到 2；原來的商在該點仍無定義。
1
2
(x−1)(x+1)/(x−1)=x+1（x≠1）
3
lim x→1 =2
解題範例
lim x→1 (x²−1)/(x−1)
只有 x≠1 時可以約分。
lim x→2 (x²−4)/(x−2)
化簡為 x+2。
lim x→3 (x²−5x+6)/(x−3)
分解為 (x−2)(x−3)。
常見錯誤
- • 將 0/0 當成答案。
- • 跨越加法直接約分。
- • 未說明就重新定義原函數的該點值。
- • 忽略接近方向。
錯誤診斷：找出第一個不成立的步驟
錯誤嘗試
limit=0/0
錯在哪裡
這是代入得到的不定型。
正確處理
分解因式後得到 2。
錯誤嘗試
錯在哪裡
x 不是整個分子的因式。
正確處理
不能約分。
改變結構，練習相同概念
揭示參考答案前，先指出法則及其條件，並解釋每個正負號與因子。
lim x→2 (x²−4)/(x−2)
作答前檢查
化簡為 x+2。
查看參考答案
參考答案
lim x→3 (x²−5x+6)/(x−3)
作答前檢查
分解為 (x−2)(x−3)。
查看參考答案
參考答案
用計算機試算同一道題
每個連結都會開啟對應計算機，並帶入完整算式、變數與必要條件。
開啟未填入範例的計算機: 極限常見問題
0/0 代表零嗎？+
不代表，它是不定型，需要進一步分析。
為什麼可以約去因式？+
極限使用附近的值，而該因式在這些點不為零。
可以跨越加法約分嗎？+
不可以。約分必須針對整個分子與分母的公因式。
重點整理
代入得到 0/0 時，分解因式，只約去附近真正的公因式，並把該點函數值與極限分開。
比較使用方案