Límites algebraicos

Límites por factorización: eliminar un hueco correctamente

Obtener 0/0 al sustituir no es el límite final. En cocientes de polinomios, suele indicar un factor común que se puede cancelar.

Respuesta directa

Factoriza, cancela el factor común no nulo cerca del punto y después evalúa.

La cancelación solo es válida para x cercanos donde el factor cancelado no sea cero.

Elección del método: Límites por factorización

Elige el método según la estructura matemática principal antes de manipular símbolos. Las condiciones forman parte del problema, no son notas opcionales.

Qué comprobar primero 1

¿Qué estructura determina el método?

Qué hacer

Prueba factorización cuando el numerador y el denominador sean polinomios que se anulan en el punto de aproximación.

Qué comprobar primero 2

¿Qué condición puede cambiar la respuesta?

Qué hacer

La cancelación solo es válida para x cercanos donde el factor cancelado no sea cero.

Qué comprobar primero 3

¿Cómo se debe comprobar el resultado?

Qué hacer

Indica la exclusión utilizada al cancelar y compara ambas direcciones.

Usar un entorno reducido

Para (x²−1)/(x−1), sustituir directamente 1 da 0/0.

Factoriza x²−1=(x−1)(x+1).

Para x≠1, el cociente es igual a x+1, con los mismos valores cercanos.

Evalúa x+1 en 1 para obtener 2; el cociente original sigue sin estar definido allí.

1
x2−1x−1\frac{x^{2} - 1}{x - 1}
2
(x−1)(x+1)/(x−1)=x+1 para x≠1
3
lim x→1 =2

Ejemplos resueltos

lim x→1 (x²−1)/(x−1)
22

Cancela solo para x≠1.

lim x→2 (x²−4)/(x−2)
44

La forma simplificada es x+2.

lim x→3 (x²−5x+6)/(x−3)
11

Factoriza como (x−2)(x−3).

Errores comunes

  • • Dar 0/0 como respuesta.
  • • Cancelar términos de una suma.
  • • Redefinir el punto original sin indicarlo.
  • • Ignorar el comportamiento lateral.

Análisis de errores: encuentra el primer paso inválido

Intento incorrecto

límite=0/0

Por qué falla

Este es un resultado indeterminado de la sustitución.

Corrección

Factoriza para obtener 2.

Intento incorrecto

x2+1x=x+1\frac{x^{2} + 1}{x} = x + 1

Por qué falla

x no es factor de todo el numerador.

Corrección

No se puede cancelar.

Practica la misma idea con una estructura distinta

Identifica la regla y sus condiciones antes de mostrar la respuesta de referencia. Explica cada signo y factor.

lim x→2 (x²−4)/(x−2)

Comprueba antes de resolver

La forma simplificada es x+2.

Ver la respuesta de referencia

Respuesta de referencia

44
lim x→3 (x²−5x+6)/(x−3)

Comprueba antes de resolver

Factoriza como (x−2)(x−3).

Ver la respuesta de referencia

Respuesta de referencia

11

Prueba los ejemplos en la calculadora

Cada enlace abre la calculadora correspondiente con la expresión, la variable y las condiciones necesarias ya completadas.

Límites:x2−1x−1\frac{x^{2} - 1}{x - 1}Límites:x2−4x−2\frac{x^{2} - 4}{x - 2}
Abrir la calculadora sin un ejemplo: Límites

Preguntas frecuentes

¿0/0 significa cero?+

No. Es una forma indeterminada que requiere más análisis.

¿Por qué puede cancelarse el factor?+

El límite utiliza valores cercanos donde ese factor no es cero.

¿Pueden cancelarse términos dentro de una suma?+

No. La cancelación se aplica a factores comunes del numerador y del denominador completos.

Conclusión

Cuando la sustitución da 0/0, factoriza, cancela solo factores verdaderos cerca del punto y distingue el valor en ese punto.

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