Errores de la regla de la cadena

¿Por qué se multiplica por la derivada de la función interior?

La derivada interior no es un añadido decorativo. Convierte la tasa exterior, medida por unidad de la entrada interior, en una tasa por unidad de x.

Respuesta directa

Para y=f(g(x)), multiplica por g'(x): la entrada de f cambia a la tasa g'(x), no a una unidad por cada unidad de x.

La regla se aplica cuando una función derivable se evalúa dentro de otra; cada capa anidada no trivial aporta un factor.

Argumento con tasas: conecta los dos cambios

Sea u=g(x) e y=f(u). La derivada exterior dy/du mide cómo cambia y cuando cambia u.

La derivada interior du/dx mide cómo cambia u cuando cambia x. Multiplicar (dy/du)(du/dx) convierte la tasa exterior en dy/dx.

Para y=sin(x^2), el coseno mide el cambio por unidad de x^2 y 2x mide la rapidez con que cambia x^2. El resultado es 2x cos(x^2).

Una comprobación útil consiste en contar las capas no triviales antes de simplificar. Si una capa cambia con x pero no aporta su factor derivado, la solución está incompleta.

1
u=g(x), y=f(u)
2
dy/dx = (dy/du)(du/dx)
3
ddx[sin⁡(x2)]=cos⁡(x2) 2 x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sin\left(x^{2}\right)\right] = \cos\left(x^{2}\right)\,2\,x

Ejemplos resueltos

ddx[sin⁡(x2)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sin\left(x^{2}\right)\right]
2x cos(x^2)

cos(x^2) es la derivada exterior y 2x la interior.

ddx[e3 x+1]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[e^{3\,x + 1}\right]
3 e3 x+13\,e^{3\,x + 1}

La exponencial se conserva y la expresión lineal interior aporta 3.

ddx[(x2+1)3]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\left(x^{2} + 1\right)^{3}\right]
6 x (x2+1)26\,x\,\left(x^{2} + 1\right)^{2}

Deriva el cubo, conserva x^2+1 y multiplica después por 2x.

Errores comunes

  • • Detenerse en cos(x^2) al derivar sin(x^2).
  • • Sustituir la expresión interior en vez de conservarla dentro de la derivada exterior.
  • • Multiplicar por la expresión interior en lugar de por su derivada.
  • • Simplificar demasiado pronto y perder la correspondencia entre capas y factores.

Prueba los ejemplos en la calculadora

Cada enlace abre la calculadora correspondiente con la expresión, la variable y las condiciones necesarias ya completadas.

Calculadora de la regla de la cadena:sin⁡(x2)\sin\left(x^{2}\right)Calculadora de la regla de la cadena:e3 x+1e^{3\,x + 1}Calculadora de la regla de la cadena:(x2+1)3\left(x^{2} + 1\right)^{3}
Abrir la calculadora sin un ejemplo: Calculadora de la regla de la cadena

Referencias

Preguntas frecuentes

¿Multiplico por la función interior o por su derivada?+

Por la derivada de la función interior. La función interior sin modificar permanece dentro de la derivada exterior.

¿Y si la derivada interior vale uno?+

El factor sigue presente conceptualmente, pero multiplicar por uno no cambia el resultado escrito.

¿Cada capa anidada añade un factor?+

Cada capa derivable no trivial añade un factor derivado. Las capas constantes o identidad pueden simplificarse a cero o uno.

Conclusión

Multiplica por la derivada interior porque la entrada exterior normalmente no cambia al mismo ritmo que x. Conserva visible el interior, deriva cada capa y multiplica las tasas obtenidas.

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