連鎖律常見錯誤

為什麼要乘上內層導數？

內層導數不是額外裝飾。它將以內層輸入為單位的外層變化率，換成以 x 為單位的變化率。

先看結論

對 y=f(g(x))，須乘以 g'(x)，因為 f 的輸入以 g'(x) 的速率改變，不是 x 每增加一單位，輸入也恰好增加一單位。

當一個可微分函數作為另一個函數的輸入時適用；每一個非平凡的巢狀層次都會提供一個因子。

變化率觀點：連結兩個變化

設 u=g(x)、y=f(u)。外層導數 dy/du 衡量 u 改變時，y 如何改變。

內層導數 du/dx 衡量 x 改變時，u 如何改變。將 (dy/du)(du/dx) 相乘，就把外層變化率轉成 dy/dx。

對 y=sin(x^2)，餘弦衡量 x^2 每單位變化的影響，而 2x 衡量 x^2 改變的速度。結果為 2x cos(x^2)。

化簡前，先數清楚非平凡的層次，是有效的檢查方法。如果某一層隨 x 改變，卻沒有提供導數因子，解答就不完整。

u=g(x), y=f(u)

dy/dx = (dy/du)(du/dx)

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sin\left(x^{2}\right)\right] = \cos\left(x^{2}\right)\,2\,x

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sin\left(x^{2}\right)\right]

2x cos(x^2)

cos(x^2) 是外層導數，2x 是內層導數。

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[e^{3\,x + 1}\right]

3\,e^{3\,x + 1}

指數函數保留原式，線性內層提供係數 3。

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\left(x^{2} + 1\right)^{3}\right]

6\,x\,\left(x^{2} + 1\right)^{2}

先對三次方微分，保留 x^2+1，再乘以 2x。

每個連結都會開啟對應計算機，並帶入完整算式、變數與必要條件。

\sin\left(x^{2}\right)

e^{3\,x + 1}

\left(x^{2} + 1\right)^{3}

要乘內層函數，還是它的導數？+

乘上內層函數的導數。未改變的內層函數，仍保留在外層導數裡。

內層導數等於 1 時呢？+

概念上仍有這個因子，但乘以 1 不會改變寫出的結果。

每一個巢狀層次都要增加因子嗎？+

每個非平凡的可微分層次都提供導數因子。常數或恆等層可能化簡成零或 1。

外層輸入通常不是與 x 一比一改變，因此須乘以內層導數。保留內層式，逐層微分，並將各個變化率相乘。