Aprender cálculo
Derivadas de funciones hiperbólicas: sinh, cosh y tanh
Las derivadas hiperbólicas pueden obtenerse directamente a partir de exponenciales. Así se evita trasladar el signo incorrecto de la regla del coseno. Expresar sinh y cosh mediante exp también proporciona entradas ejecutables para un analizador que no admite los nombres de funciones hiperbólicas.
Respuesta directa
Estas tres funciones reales están definidas para todo x real. Las funciones hiperbólicas no son funciones trigonométricas periódicas.
Derivadas de funciones hiperbólicas paso a paso
Define sinh x=(exp x−exp(−x))/2 y cosh x=(exp x+exp(−x))/2.
Al derivar exp(−x) aparece un signo menos. La diferencia de sinh se convierte en suma y la suma de cosh en diferencia.
Escribe tanh x=sinh x/cosh x y aplica la regla del cociente. El numerador es cosh²x−sinh²x=1.
El denominador cosh²x es positivo en toda la recta real. Para tanh(3x), conserva el argumento interior y después multiplica por 3.
A diferencia de cos, cosh nunca se anula para x real. Las funciones hiperbólicas recíprocas e inversas tienen sus propios dominios y quedan fuera de esta lección introductoria.
Ejemplos resueltos
El factor 2 procede de la regla de la cadena.
No hay signo menos.
Es positiva para x real.
Errores comunes
- • Usar (cosh x)′=−sinh x.
- • Escribir un nombre de función literal que el analizador no admite.
- • Confundir sinh⁻¹ con 1/sinh.
Prueba el ejemplo compatible con la calculadora
El enlace carga una expresión compatible con su variable y sus condiciones. Los demás ejemplos son explicaciones de referencia, no una garantía de que el motor admita todos los métodos.
Este ejemplo utiliza la definición exponencial. Su resultado puede reconocerse como cosh(x), aunque se muestre con exp.
Abrir la calculadora sin un ejemplo: DerivadasReferencias
Preguntas frecuentes
¿Son funciones de ángulos?+
Se definen mediante funciones exponenciales; no les añadas el factor de conversión de grados de la trigonometría.
¿Puedo utilizarlas en el motor actual?+
Usa sus representaciones con exp, como en el ejemplo. Esta versión no añade alias literales sinh/cosh/tanh.
¿Se incluyen las derivadas hiperbólicas inversas?+
No. Requieren fórmulas y análisis de dominio separados.
Conclusión
Las derivadas hiperbólicas parten del dominio y las condiciones indicados. Vuelve a comprobarlos antes de aplicar un ejemplo resuelto a otro problema.
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