微積分學習

雙曲函數的導數：sinh、cosh 與 tanh

雙曲函數的導數可直接從指數函數推導，避免誤套餘弦微分的負號。將 sinh 與 cosh 寫成 exp，也能在不支援雙曲函數名稱的剖析器中輸入可執行的算式。

先看結論

(sinh x)′=cosh x，(cosh x)′=sinh x，且 (tanh x)′=1/cosh²x。

這三個實數函數對所有實數 x 都有定義。雙曲函數不是具有週期性的三角函數。

雙曲函數導數的完整推導

定義 sinh x=(exp x−exp(−x))/2 與 cosh x=(exp x+exp(−x))/2。

exp(−x) 微分時會產生負號，因此 sinh 中的相減變成相加，而 cosh 中的相加變成相減。

將 tanh x 寫成 sinh x/cosh x，再使用商法則。分子為 cosh²x−sinh²x=1。

分母 cosh²x 在整條實數線上皆為正。對 tanh(3x)，保留內層引數後，再乘以 3。

與 cos 不同，cosh 在實數 x 上不會為零。雙曲函數的倒數與反函數有各自的定義域，不屬於本篇入門內容。

sinh x=(exp x−exp(−x))/2

cosh x=(exp x+exp(−x))/2

(tanh x)′=(cosh²x−sinh²x)/cosh²x

d/dx sinh(2x)

2cosh(2x)

係數 2 來自連鎖律。

d/dx cosh(x)

sinh(x)

沒有負號。

d/dx tanh(x)

1/cosh²(x)

對實數 x 皆為正。

範例會帶入計算機支援的算式、變數與條件。指南中的其他解說是數學參考，不代表計算引擎支援所有方法。

本例題使用指數定義。即使結果以 exp 顯示，也可辨認出它等於 cosh(x)。

\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}

雙曲函數是角度函數嗎？+

它們由指數函數定義，不應加上三角函數的角度轉換係數。

目前引擎可以使用雙曲函數嗎？+

請像預填例題一樣，使用 exp 表示法。本次版本未新增直接輸入 sinh/cosh/tanh 的別名。

這篇涵蓋反雙曲函數的導數嗎？+

不涵蓋。反雙曲函數需要另外的公式與定義域分析。

計算雙曲函數的導數前，先確認題目列出的定義域與條件。將例題的方法用在另一題時，也要重新檢查這些限制。