指數函數的導數
exp(x) 的導數：為什麼 eˣ 微分後仍是自己
e^x 的導數是 e^x。exp(x) 表示相同的指數函數，下方計算機例題使用此寫法。對 exp(g(x))，保留原指數並乘上其導數；其他正的常數底數，還會產生 ln(a)。
先看結論
實數 aˣ 要求 a>0；exp(g(x)) 微分時也需要 g′(x)。
什麼時候使用e^x / exp(x) 的導數？
操作符號前，先從最外層的數學結構選擇方法。條件是題目的一部分，不是可省略的附註。
先確認 1
哪個結構決定方法？
接下來怎麼做
先辨認底數，再判斷指數是否為複合函數。
先確認 2
哪些條件會改變答案？
接下來怎麼做
實數 aˣ 要求 a>0；exp(g(x)) 微分時也需要 g′(x)。
先確認 3
應該如何檢查結果？
接下來怎麼做
將結果除以原指數函數，留下的因子應為指數的導數。
將差商提出公因式
從 [exp(x+h)−exp(x)]/h 提出 exp(x)。
由 e 的定義性質，其餘極限 [exp(h)−1]/h 等於 1。
因此 exp′(x)=exp(x)；aˣ 則寫成 exp(x ln a)。
對 exp(g(x))，保留 g(x) 並乘上 g′(x)。
1
2
lim [exp(h)−1]/h=1
3
[exp(g(x))]'=exp(g(x))g'(x)
解題範例
基本的指數微分公式。
內層導數為 4。
2^x ln(2)
底數不是 e，因此會產生 ln(2)。
常見錯誤
- • 把所有底數都當成 e。
- • 用指數的導數取代原指數。
- • 忘記 g′(x)。
- • 底數為 e，仍多乘 ln(a)。
錯誤診斷：找出第一個不成立的步驟
錯誤嘗試
[exp(x²)]'=exp(2x)
錯在哪裡
更換了指數，沒有保留原式。
正確處理
[exp(x²)]'=2x exp(x²)
錯誤嘗試
[2^x]'=2^x
錯在哪裡
只有底數 e 的對數因子等於 1。
正確處理
[2^x]'=2^x ln(2)
改變結構，練習相同概念
揭示參考答案前，先指出法則及其條件，並解釋每個正負號與因子。
作答前檢查
內層導數為 4。
查看參考答案
參考答案
作答前檢查
底數不是 e，因此會產生 ln(2)。
查看參考答案
參考答案
2^x ln(2)
用計算機試算同一道題
每個連結都會開啟對應計算機，並帶入完整算式、變數與必要條件。
開啟未填入範例的計算機: 微分常見問題
e^x 與 exp(x) 是相同函數嗎？+
是。兩者都表示以 e 為底的指數函數。例題按鈕使用 exp(x)，其導數也是 exp(x)。
aˣ 的導數是什麼？+
a>0 時為 aˣ ln(a)。
d/dx exp(x²) 是多少？+
為 2x exp(x²)，不是 exp(2x)。
重點整理
exp(x) 微分後不變；複合指數須乘內層導數，其他底數須乘 ln(a)。
比較使用方案