Derivadas exponenciales

Derivada de exp(x): por qué eˣ es su propia derivada

La derivada de e^x es e^x. La notación exp(x) representa la misma función exponencial y se utiliza en los ejemplos de la calculadora de abajo. Para exp(g(x)), conserva el exponente original y multiplica por su derivada; otras bases constantes positivas también aportan ln(a).

Respuesta directa

ddx[ex]=ex\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[e^{x}\right] = e^{x}

Para aˣ real, a>0; exp(g(x)) también requiere g′(x).

Cuándo usar la derivada de e^x / exp(x)

Elige el método según la estructura matemática principal antes de manipular símbolos. Las condiciones forman parte del problema, no son notas opcionales.

Qué comprobar primero 1

¿Qué estructura determina el método?

Qué hacer

Identifica la base y decide si el exponente es una función compuesta.

Qué comprobar primero 2

¿Qué condición puede cambiar la respuesta?

Qué hacer

Para aˣ real, a>0; exp(g(x)) también requiere g′(x).

Qué comprobar primero 3

¿Cómo se debe comprobar el resultado?

Qué hacer

Divide el resultado entre la exponencial original; el factor restante debe ser la derivada del exponente.

Factorizar el cociente incremental

Saca exp(x) como factor de [exp(x+h)−exp(x)]/h.

El límite restante [exp(h)−1]/h vale uno por la propiedad que define e.

Así, exp′(x)=exp(x); para aˣ, escribe exp(x ln a).

Para exp(g(x)), conserva g(x) y multiplica por g′(x).

1
ex+h=ex ehe^{x + h} = e^{x}\,e^{h}
2
lim [exp(h)−1]/h=1
3
[exp(g(x))]'=exp(g(x))g'(x)

Ejemplos resueltos

ddx[ex]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[e^{x}\right]
exe^{x}

La regla básica de la exponencial.

ddx[e4 x]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[e^{4\,x}\right]
4 e4 x4\,e^{4\,x}

La derivada interior es 4.

ddx[2x]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[2^{x}\right]
2^x ln(2)

Una base distinta de e aporta ln(2).

Errores comunes

  • • Tratar todas las bases como e.
  • • Sustituir el exponente por su derivada.
  • • Olvidar g′(x).
  • • Añadir ln(a) cuando la base es e.

Análisis de errores: encuentra el primer paso inválido

Intento incorrecto

[exp(x²)]'=exp(2x)

Por qué falla

Se sustituyó el exponente en lugar de conservarlo.

Corrección

[exp(x²)]'=2x exp(x²)

Intento incorrecto

[2^x]'=2^x

Por qué falla

Solo la base e tiene un factor logarítmico unitario.

Corrección

[2^x]'=2^x ln(2)

Practica la misma idea con una estructura distinta

Identifica la regla y sus condiciones antes de mostrar la respuesta de referencia. Explica cada signo y factor.

ddx[e4 x]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[e^{4\,x}\right]

Comprueba antes de resolver

La derivada interior es 4.

Ver la respuesta de referencia

Respuesta de referencia

4 e4 x4\,e^{4\,x}
ddx[2x]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[2^{x}\right]

Comprueba antes de resolver

Una base distinta de e aporta ln(2).

Ver la respuesta de referencia

Respuesta de referencia

2^x ln(2)

Prueba los ejemplos en la calculadora

Cada enlace abre la calculadora correspondiente con la expresión, la variable y las condiciones necesarias ya completadas.

Derivadas:exe^{x}Derivadas:e4 xe^{4\,x}
Abrir la calculadora sin un ejemplo: Derivadas

Preguntas frecuentes

¿e^x y exp(x) son la misma función?+

Sí. Ambas representan la función exponencial de base e. Los botones de ejemplo utilizan exp(x); su derivada es exp(x).

¿Cuál es la derivada de aˣ?+

Para a>0, es aˣ ln(a).

¿Cuánto es d/dx exp(x²)?+

Es 2x exp(x²), no exp(2x).

Conclusión

exp(x) no cambia al derivarla; los exponentes compuestos añaden la derivada interior y otras bases añaden ln(a).

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