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Sustitución trigonométrica: cómo elegirla y definir su dominio

La sustitución trigonométrica transforma una raíz cuadrática mediante una identidad trigonométrica. Empieza por los signos de los términos al cuadrado, no por un triángulo memorizado. Una sustitución ordinaria puede ser más corta si el numerador ya contiene la derivada del radicando.

Respuesta directa

Usa x=a sin θ para √(a²−x²), x=a tan θ para √(a²+x²) o x=a sec θ para √(x²−a²).

Supón a>0 y elige un intervalo angular donde la sustitución sea uno a uno. Las raíces cuadradas son no negativas: √(u²)=|u|.

Sustitución trigonométrica paso a paso

Para 1/√(a²−x²), toma x=a sin θ con −π/2<θ<π/2. Entonces dx=a cos θ dθ y el coseno positivo se cancela con el denominador.

La integral transformada es ∫1 dθ=θ+C. Vuelve a x con θ=arcsin(x/a); al derivar se confirma el resultado en |x|<a.

Para a²+x², toma x=a tan θ con −π/2<θ<π/2. La identidad 1+tan²θ=sec²θ elimina la raíz, con sec θ>0.

Para x²−a² en x>a, toma x=a sec θ con 0<θ<π/2. La rama negativa x<−a requiere tratar por separado el ángulo y el signo: no copies sin más la rama positiva.

En las integrales definidas, transforma ambos límites a θ desde el principio o vuelve a expresar la primitiva en x antes de sustituir los límites en x. Mezclar ambas opciones cambia el problema.

1
∫ dx/√(a²−x²) = arcsin(x/a)+C
2
∫xa2+x2 dx=a2+x2+C\int \frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}\,\mathrm{d}x = \sqrt{a^{2} + x^{2}} + C
3
∫ dx/(a²+x²) = arctan(x/a)/a+C

Ejemplos resueltos

∫ dx/√(16−x²)
arcsin(x/4)+C

El intervalo es −4<x<4.

∫x9+x2 dx\int \frac{x}{\sqrt{9 + x^{2}}}\,\mathrm{d}x
9+x2+C\sqrt{9 + x^{2}} + C

Aquí u=9+x² es más corto.

∫ dx/(4+x²)
arctan⁡(x2)2+C\frac{\arctan\left(\frac{x}{2}\right)}{2} + C

El denominador no tiene ceros reales.

Errores comunes

  • • Eliminar el valor absoluto antes de elegir el intervalo angular.
  • • Transformar dx pero no el denominador.
  • • Usar límites en x dentro de una integral en θ.

Prueba el ejemplo compatible con la calculadora

El enlace carga una expresión compatible con su variable y sus condiciones. Los demás ejemplos son explicaciones de referencia, no una garantía de que el motor admita todos los métodos.

Este ejemplo ejecutable es una integral racional cuadrática. Los desarrollos con raíces anteriores son referencias didácticas, no una afirmación de que la calculadora implemente todos los pasos de sustitución trigonométrica.

Integrales:14+x2\frac{1}{4 + x^{2}}
Abrir la calculadora sin un ejemplo: Integrales

Referencias

Preguntas frecuentes

¿Cuándo conviene probar primero una sustitución ordinaria?+

Cuando los factores restantes proporcionan la derivada de la expresión dentro de la raíz.

¿Hace falta un triángulo para cada raíz?+

No. Las identidades trigonométricas inversas permiten volver directamente a x.

¿La calculadora mostrará este método para cualquier raíz?+

No. Sus reglas son más limitadas que esta lección. Una respuesta de no compatibilidad no demuestra que la integral sea imposible.

Conclusión

La sustitución trigonométrica parte del dominio y las condiciones indicados. Vuelve a comprobarlos antes de aplicar un ejemplo resuelto a otro problema.

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