微積分學習

三角代換：如何選擇代換式與定義域

當其餘因子剛好提供根號內表示式的導數時，先試一般代換往往更直接。

不需要。利用反三角函數的恆等關係，也能直接換回 x。

不會。計算機目前支援的規則比本篇介紹的範圍窄。顯示不支援，只代表實作的限制，並不表示這個積分在數學上無法求出。

三角代換利用三角恆等式處理含有二次式的根式。先看平方項前的正負號，不要只靠背三角形來選方法。如果分子已包含根號內表示式的導數，直接做 u 代換可能更簡潔。

先看結論

遇到 √(a²−x²) 可設 x=a sin θ；遇到 √(a²+x²) 可設 x=a tan θ；遇到 √(x²−a²) 可設 x=a sec θ。

假設 a>0，並選擇代換為一對一的角度區間。平方根取非負值，因此 √(u²)=|u|。

三角代換的完整計算方法

對 1/√(a²−x²)，設 x=a sin θ，並限制 −π/2<θ<π/2。此時 dx=a cos θ dθ，且 cos θ 為正，可以與分母約掉。

代換後的積分為 ∫1 dθ=θ+C。再用 θ=arcsin(x/a) 換回 x；在 |x|<a 上將答案微分，即可檢查結果。

對 a²+x²，設 x=a tan θ，限制 −π/2<θ<π/2。利用 1+tan²θ=sec²θ 與 sec θ>0，可消去根號。

對 x>a 時的 x²−a²，設 x=a sec θ，限制 0<θ<π/2。負值分支 x<−a 的角度與符號必須另外處理，不能直接套用正值分支。

計算定積分時，可以立即將上下限都換成 θ，也可以先將原函數換回 x，再代入 x 的上下限。這兩種做法不能混用，否則會改變原本的問題。

∫ dx/√(a²−x²) = arcsin(x/a)+C

\int \frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}\,\mathrm{d}x = \sqrt{a^{2} + x^{2}} + C

∫ dx/(a²+x²) = arctan(x/a)/a+C

∫ dx/√(16−x²)

arcsin(x/4)+C

適用區間為 −4<x<4。

\int \frac{x}{\sqrt{9 + x^{2}}}\,\mathrm{d}x

\sqrt{9 + x^{2}} + C

這一題用 u=9+x² 代換更簡潔。

∫ dx/(4+x²)

\frac{\arctan\left(\frac{x}{2}\right)}{2} + C

分母在實數範圍內沒有零點。

範例會帶入計算機支援的算式、變數與條件。指南中的其他解說是數學參考，不代表計算引擎支援所有方法。

可直接執行的例題是二次有理函數的積分。上方的根式推導屬於教學參考，不代表計算機已實作所有三角代換步驟。

\frac{1}{4 + x^{2}}

什麼時候應該先試一般代換？+

當其餘因子剛好提供根號內表示式的導數時，先試一般代換往往更直接。

每個根式都需要畫三角形嗎？+

不需要。利用反三角函數的恆等關係，也能直接換回 x。

計算機會對每個根式都顯示這套方法嗎？+

不會。計算機目前支援的規則比本篇介紹的範圍窄。顯示不支援，只代表實作的限制，並不表示這個積分在數學上無法求出。

使用三角代換前，先確認題目列出的定義域與條件。將例題的方法用在另一題時，也要重新檢查這些限制。