積分方法

變數代換積分：配對內層導數

變數代換是連鎖律的逆向操作。當一部分是複合函數的輸入，另一部分提供它的導數（可差一個常數倍），就適合使用。

先看結論

若 u=g(x)，則 ∫f(g(x))g′(x)dx=∫f(u)du

代換必須包含微分因子，並保留或轉換積分上下限。

什麼時候使用變數代換積分？

操作符號前，先從最外層的數學結構選擇方法。條件是題目的一部分，不是可省略的附註。

先確認 1

哪個結構決定方法？

接下來怎麼做

內層算式與它的導數因子都看得見時，優先考慮變數代換。

先確認 2

哪些條件會改變答案？

接下來怎麼做

代換必須包含微分因子，並保留或轉換積分上下限。

先確認 3

應該如何檢查結果？

接下來怎麼做

微分答案，確認原本的每個因子都還原。

反向使用連鎖律

設 F′(u)=f(u)，並令 u=g(x)。

連鎖律給出 d/dx F(g(x))=f(g(x))g′(x)。

因此反導函數為 F(g(x))+C。

定積分要轉換兩個上下限，或先換回 x 再代入；不能混用變數與上下限。

1
u=g xu = g\,x
2
du=g'(x)dx
3
∫f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))+C

解題範例

∫2x cos(x²) dx
sin⁡(x2)+C\sin\left(x^{2}\right) + C

令 u=x²。

∫3 x2x3+1 dx\int \frac{3\,x^{2}}{x^{3} + 1}\,\mathrm{d}x
ln⁡∣x3+1∣+C\ln\left|x^{3} + 1\right| + C

令 u=x³+1。

∫₀¹ 2x exp(x²) dx
e−1e - 1

將上下限轉為 u=0 與 u=1。

常見錯誤

  • • 留下未配對的 x 項。
  • • 忘記調整常數因子。
  • • 將 x 的上下限與 u 混用。
  • • 未對結果微分檢查。

錯誤診斷：找出第一個不成立的步驟

錯誤嘗試

∫2x cos(x²)dx=sin(x)+C

錯在哪裡

沒有換回輸入 x²。

正確處理

sin⁡(x2)+C\sin\left(x^{2}\right) + C

錯誤嘗試

u=x³+1, du=x²dx

錯在哪裡

漏掉因子 3。

正確處理

du=3x²dx

改變結構，練習相同概念

揭示參考答案前，先指出法則及其條件，並解釋每個正負號與因子。

∫3 x2x3+1 dx\int \frac{3\,x^{2}}{x^{3} + 1}\,\mathrm{d}x

作答前檢查

令 u=x³+1。

查看參考答案

參考答案

ln⁡∣x3+1∣+C\ln\left|x^{3} + 1\right| + C
∫₀¹ 2x exp(x²) dx

作答前檢查

將上下限轉為 u=0 與 u=1。

查看參考答案

參考答案

e−1e - 1

用計算機試算同一道題

每個連結都會開啟對應計算機，並帶入完整算式、變數與必要條件。

積分:2 x cos⁡(x2)2\,x\,\cos\left(x^{2}\right)積分:3 x2x3+1\frac{3\,x^{2}}{x^{3} + 1}
開啟未填入範例的計算機: 積分

常見問題

如何選擇 u？+

找出一個內層算式，而且它的導數出現在其他部分。

du 可以差一個常數倍嗎？+

可以，但必須明確調整這個常數。

一定要改上下限嗎？+

若繼續用 u，就要改；否則先換回 x，再使用 x 的上下限。

重點整理

選擇能同時吸收複合輸入與微分因子的代換，最後以微分驗證。

比較使用方案