Métodos de integración

Integración por sustitución: encontrar la derivada interior que encaja

La sustitución invierte la regla de la cadena. Funciona cuando una parte es una entrada compuesta y otra proporciona su derivada, quizá salvo una constante.

Respuesta directa

Si u=g(x), entonces ∫f(g(x))g′(x)dx=∫f(u)du

La sustitución debe incluir el factor diferencial y conservar o transformar los límites.

Elección del método: Integración por sustitución

Elige el método según la estructura matemática principal antes de manipular símbolos. Las condiciones forman parte del problema, no son notas opcionales.

Qué comprobar primero 1

¿Qué estructura determina el método?

Qué hacer

Prefiere sustitución cuando sean visibles una expresión interior y el factor de su derivada.

Qué comprobar primero 2

¿Qué condición puede cambiar la respuesta?

Qué hacer

La sustitución debe incluir el factor diferencial y conservar o transformar los límites.

Qué comprobar primero 3

¿Cómo se debe comprobar el resultado?

Qué hacer

Deriva la respuesta y confirma que se recuperan todos los factores originales.

Invertir la regla de la cadena

Sea F′(u)=f(u) y toma u=g(x).

La regla de la cadena da d/dx F(g(x))=f(g(x))g′(x).

Por tanto, la primitiva es F(g(x))+C.

Para integrales definidas, transforma ambos límites o vuelve a x antes de evaluar; nunca mezcles variables y límites.

1
u=g xu = g\,x
2
du=g'(x)dx
3
∫f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))+C

Ejemplos resueltos

∫2x cos(x²) dx
sin⁡(x2)+C\sin\left(x^{2}\right) + C

Usa u=x².

∫3 x2x3+1 dx\int \frac{3\,x^{2}}{x^{3} + 1}\,\mathrm{d}x
ln⁡∣x3+1∣+C\ln\left|x^{3} + 1\right| + C

Usa u=x³+1.

∫₀¹ 2x exp(x²) dx
e−1e - 1

Transforma los límites a u=0 y u=1.

Errores comunes

  • • Dejar términos con x que no encajan.
  • • Olvidar ajustar una constante.
  • • Mezclar límites en x con u.
  • • No derivar el resultado.

Análisis de errores: encuentra el primer paso inválido

Intento incorrecto

∫2x cos(x²)dx=sin(x)+C

Por qué falla

No se restituyó la entrada x².

Corrección

sin⁡(x2)+C\sin\left(x^{2}\right) + C

Intento incorrecto

u=x³+1, du=x²dx

Por qué falla

Falta el factor 3.

Corrección

du=3x²dx

Practica la misma idea con una estructura distinta

Identifica la regla y sus condiciones antes de mostrar la respuesta de referencia. Explica cada signo y factor.

∫3 x2x3+1 dx\int \frac{3\,x^{2}}{x^{3} + 1}\,\mathrm{d}x

Comprueba antes de resolver

Usa u=x³+1.

Ver la respuesta de referencia

Respuesta de referencia

ln⁡∣x3+1∣+C\ln\left|x^{3} + 1\right| + C
∫₀¹ 2x exp(x²) dx

Comprueba antes de resolver

Transforma los límites a u=0 y u=1.

Ver la respuesta de referencia

Respuesta de referencia

e−1e - 1

Prueba los ejemplos en la calculadora

Cada enlace abre la calculadora correspondiente con la expresión, la variable y las condiciones necesarias ya completadas.

Integrales:2 x cos⁡(x2)2\,x\,\cos\left(x^{2}\right)Integrales:3 x2x3+1\frac{3\,x^{2}}{x^{3} + 1}
Abrir la calculadora sin un ejemplo: Integrales

Preguntas frecuentes

¿Cómo elijo u?+

Busca una expresión interior cuya derivada aparezca en otra parte.

¿du puede diferir en una constante?+

Sí. Ajusta explícitamente la constante.

¿Deben cambiar los límites?+

Cámbialos si mantienes u; en caso contrario, vuelve a sustituir antes de usar límites en x.

Conclusión

Elige una sustitución que absorba tanto la entrada compuesta como su diferencial y después verifica derivando.

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