Métodos de integración

Sustitución con u o integración por partes: cómo elegir

La forma más rápida de elegir un método de integración es observar la estructura antes de manipular símbolos. Ver un producto no implica automáticamente integrar por partes, y una expresión interior no ayuda si su derivada no aparece también, salvo un factor constante.

Respuesta directa

Usa sustitución para el patrón compuesto f(g(x))g′(x); usa integración por partes cuando un producto se simplifica al derivar uno de sus factores.

Este criterio ayuda a elegir un método; no garantiza que cualquiera de las dos técnicas resuelva todas las integrales.

Cómo decidir: observa qué se simplifica

Empieza por la sustitución. Busca una expresión interior g(x) dentro de una potencia, exponencial, logaritmo o función trigonométrica. Si el factor restante es g′(x), quizá multiplicado por una constante, toma u=g(x). Para ∫2x cos(x²) dx, u=x² y du=2x dx reducen la integral a ∫cos(u) du.

Si el integrando es un producto y la sustitución no absorbe un factor, prueba integración por partes. Elige u de modo que derivarlo simplifique la expresión y dv de modo que pueda integrarse. Para ∫x exp(x) dx, tomar u=x y dv=exp(x)dx da exp(x)(x−1)+C.

No decidas solo por la apariencia. El producto x sin(x²) contiene la derivada de x² salvo una constante, de modo que funciona la sustitución aunque se vean dos factores. En cambio, x sin(x) no tiene una derivada interior que encaje; integrar por partes lo cambia por la integral más sencilla ∫cos(x)dx.

Después de elegir el método, deriva la primitiva propuesta. Esa comprobación es más fiable que decidir que una respuesta resulta familiar. CalculusMate admite actualmente un conjunto limitado de primitivas deterministas; un método matemáticamente válido puede seguir apareciendo como no compatible si su regla no está implementada.

1
Composición + derivada interior que encaja → sustitución
2
Producto + factor que se simplifica al derivar → integración por partes
3
Deriva el resultado para comprobarlo

Ejemplos resueltos

∫ 2x cos(x²) dx
sin⁡(x2)+C\sin\left(x^{2}\right) + C

Usa u=x² porque du=2x dx aparece en el integrando.

∫ x exp(x) dx
ex (x−1)+Ce^{x}\,\left(x - 1\right) + C

Integra por partes con u=x y dv=exp(x)dx; al derivar x desaparece el factor polinómico.

∫e2 x dx\int e^{2\,x}\,\mathrm{d}x
e2 x2+C\frac{e^{2\,x}}{2} + C

Este patrón de sustitución con una expresión interior lineal es compatible con la calculadora determinista actual.

Errores comunes

  • • Elegir integración por partes solo porque el integrando está escrito como producto.
  • • Elegir u=g(x) cuando no queda ningún múltiplo de g′(x) en el integrando.
  • • Detenerse después de sustituir sin convertir du correctamente ni volver a x.
  • • Suponer que un resultado no compatible invalida el método matemático.

Prueba los ejemplos en la calculadora

Cada enlace abre la calculadora correspondiente con la expresión, la variable y las condiciones necesarias ya completadas.

El ejemplo enlazado de exp(2x) es compatible. Los dos ejemplos más amplios de elección de método anteriores son educativos y pueden quedar fuera del conjunto actual de reglas deterministas.

Integrales:e2 xe^{2\,x}
Abrir la calculadora sin un ejemplo: Integrales

Referencias

Preguntas frecuentes

¿Un producto puede resolverse con sustitución con u?+

Sí. Si un factor es la derivada de una expresión interior del otro, la sustitución puede ser el método más corto.

¿Cómo debo elegir u al integrar por partes?+

Prefiere un factor que se simplifique al derivarlo, mientras el factor restante pueda integrarse sin complicar el problema.

¿Y si ambos métodos complican la integral?+

Revisa el álgebra y considera otra técnica, como una identidad, fracciones parciales o un método numérico. No todas las integrales tienen una primitiva elemental.

Conclusión

Elige por la estructura: una derivada interior que encaja sugiere sustitución; un producto con un factor simplificable sugiere integración por partes. Después deriva el resultado y distingue las limitaciones de la calculadora de las matemáticas.

Comparar planes