積分方法

u 代換與分部積分：如何選擇

選擇積分方法時，最快的起點是先看結構，再操作符號。看到乘積，不一定要分部積分；看到內層表示式，也要確認其導數是否以相差常數倍的形式出現。

先看結論

f(g(x))g′(x) 這類複合結構適合代換；若乘積中某個因子微分後更簡單，可考慮分部積分。

這是選擇方法的判斷原則，不保證任一技巧都能完成所有積分。

選擇方法：檢查哪一部分能變簡單

先試代換。在冪、指數、對數或三角函數內尋找內層表示式 g(x)。如果其餘因子是 g′(x)，至多相差常數倍，就設 u=g(x)。例如 ∫2x cos(x²) dx，u=x²、du=2x dx，積分可化為 ∫cos(u) du。

若被積函數是乘積，且代換無法吸收其中一個因子，再試分部積分。選 u 時，讓它微分後更簡單；選 dv 時，確認它能積分。對 ∫x exp(x) dx，取 u=x、dv=exp(x)dx，可得 exp(x)(x−1)+C。

不能只憑外觀決定。x sin(x²) 含有 x² 導數的常數倍，因此即使有兩個因子，也適合代換。反之，x sin(x) 沒有相符的內層導數；分部積分會將它換成較簡單的 ∫cos(x)dx。

選定方法後，將求出的原函數微分。這比「答案看起來很熟悉」更可靠。CalculusMate 目前只處理有限的確定性原函數規則；數學上有效的方法，若尚未實作，仍可能顯示不支援。

複合結構＋相符的內層導數 → 代換積分

乘積＋微分後更簡單的因子 → 分部積分

將結果微分，檢查答案

∫ 2x cos(x²) dx

\sin\left(x^{2}\right) + C

因被積函數中已有 du=2x dx，因此設 u=x²。

∫ x exp(x) dx

e^{x}\,\left(x - 1\right) + C

分部積分取 u=x、dv=exp(x)dx；對 x 微分可消去多項式因子。

\int e^{2\,x}\,\mathrm{d}x

\frac{e^{2\,x}}{2} + C

這是目前確定性計算機支援的線性內層代換結構。

每個連結都會開啟對應計算機，並帶入完整算式、變數與必要條件。

連結中的 exp(2x) 例題受支援。上方另外兩個較廣泛的方法選擇例題屬於教學參考，仍可能超出目前確定性規則範圍。

e^{2\,x}

乘積也可以用 u 代換嗎？+

可以。若其中一個因子是另一因子內層表示式的導數，代換可能更簡潔。

分部積分中的 u 要怎麼選？+

優先選微分後更簡單的因子，且其餘因子要能積分，不會讓問題更難。

兩種方法都讓積分更難時怎麼辦？+

重新檢查代數，並考慮恆等式、部分分式或數值方法等其他技巧。並非每個積分都有初等原函數。

依結構選擇：相符的內層導數提示代換；乘積中有可簡化因子，則提示分部積分。之後將結果微分，並區分計算機的實作限制與數學本身。