三角函數積分

sin(x) 與 cos(x) 的積分：正負號與因子

這些反導函數反向運用導數的循環。正弦積分帶負號，因為餘弦的導數是負正弦。

先看結論

∫sin(x)dx=−cos(x)+C; ∫cos(x)dx=sin(x)+C

對 sin(ax+b) 或 cos(ax+b)，須除以非零的內層斜率 a。

什麼時候使用正弦與餘弦的積分？

操作符號前，先從最外層的數學結構選擇方法。條件是題目的一部分，不是可省略的附註。

先確認 1

哪個結構決定方法？

接下來怎麼做

內層導數已出現，或只差常數倍時，可直接使用三角函數的反導公式。

先確認 2

哪些條件會改變答案？

接下來怎麼做

對 sin(ax+b) 或 cos(ax+b)，須除以非零的內層斜率 a。

先確認 3

應該如何檢查結果？

接下來怎麼做

微分答案，比對函數與係數。

反向運用導數循環

微分 −cos(x)，還原 sin(x)。

微分 sin(x)，還原 cos(x)。

對 ax+b 使用代換，會引入除以 a 的因子。

非線性角度需要配對的導數因子，或其他方法。

1
[−cos(x)]'=sin(x)
2
[sin(x)]'=cos(x)
3
∫sin(ax+b)dx=−cos(ax+b)/a+C

解題範例

∫sin⁡x dx\int \sin x\,\mathrm{d}x
−cos⁡x+C-\cos x + C

保留負號。

∫cos⁡(3 x) dx\int \cos\left(3\,x\right)\,\mathrm{d}x
sin⁡(3 x)3+C\frac{\sin\left(3\,x\right)}{3} + C

除以內層斜率。

∫2x cos(x²) dx
sin⁡(x2)+C\sin\left(x^{2}\right) + C

已有內層導數因子。

常見錯誤

  • • 漏掉正弦積分的負號。
  • • 乘上 a，而非除以 a。
  • • 以為每種複合函數都有初等反導函數。
  • • 漏掉 C。

錯誤診斷：找出第一個不成立的步驟

錯誤嘗試

∫sin(x)dx=cos(x)+C

錯在哪裡

cos′(x)=−sin(x)。

正確處理

−cos⁡x+C-\cos x + C

錯誤嘗試

∫cos(3x)dx=3sin(3x)+C

錯在哪裡

它的導數是 9cos(3x)。

正確處理

sin⁡(3 x)3+C\frac{\sin\left(3\,x\right)}{3} + C

改變結構，練習相同概念

揭示參考答案前，先指出法則及其條件，並解釋每個正負號與因子。

∫cos⁡(3 x) dx\int \cos\left(3\,x\right)\,\mathrm{d}x

作答前檢查

除以內層斜率。

查看參考答案

參考答案

sin⁡(3 x)3+C\frac{\sin\left(3\,x\right)}{3} + C
∫2x cos(x²) dx

作答前檢查

已有內層導數因子。

查看參考答案

參考答案

sin⁡(x2)+C\sin\left(x^{2}\right) + C

用計算機試算同一道題

每個連結都會開啟對應計算機，並帶入完整算式、變數與必要條件。

積分:sin⁡x\sin x積分:cos⁡(3 x)\cos\left(3\,x\right)
開啟未填入範例的計算機: 積分

常見問題

為什麼是負餘弦？+

微分 −cos(x) 會得到 sin(x)。

為什麼除以 a？+

微分會乘上 a，積分必須抵消此因子。

缺少內層導數時怎麼辦？+

常數因子可以調整；缺少非常數因子時，可能需要其他方法。

重點整理

反向運用導數循環，保留正弦積分的符號，調整內層斜率，並驗證答案。

比較使用方案