三角函數微分

cos(x) 的導數：說明負正弦的符號

餘弦從最大值開始，向右起初會下降，因此零點右側附近的導數必須為負。差商能精確說明這個符號。

先看結論

ddx[cos⁡x]=−sin⁡x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\cos x\right] = -\sin x

標準公式假設角度以弧度表示；cos(g(x)) 還須乘上 g′(x)。

什麼時候使用cos(x) 的導數？

操作符號前，先從最外層的數學結構選擇方法。條件是題目的一部分，不是可省略的附註。

先確認 1

哪個結構決定方法？

接下來怎麼做

對 cos(g(x)) 使用餘弦微分公式，再檢查 g(x) 是否為複合函數。

先確認 2

哪些條件會改變答案？

接下來怎麼做

標準公式假設角度以弧度表示；cos(g(x)) 還須乘上 g′(x)。

先確認 3

應該如何檢查結果？

接下來怎麼做

檢查零點附近的負號，並確認正弦內仍為原角度。

在差商中追蹤符號

展開 cos(x+h)=cos(x)cos(h)−sin(x)sin(h)。

減去 cos(x)，除以 h，再分開兩個標準極限。

餘弦項趨近零，正弦比值趨近一，因此留下 −sin(x)。

對 cos(g(x))，將 −sin(g(x)) 乘上 g′(x)。

1
cos⁡(x+h)=cos⁡x cos⁡h−sin⁡x sin⁡h\cos\left(x + h\right) = \cos x\,\cos h - \sin x\,\sin h
2
lim sin(h)/h=1
3
[cos(g(x))]'=−sin(g(x))g'(x)

解題範例

ddx[cos⁡x]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\cos x\right]
−sin⁡x-\sin x

負號是法則的一部分。

ddx[cos⁡(5 x)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\cos\left(5\,x\right)\right]
−5 sin⁡(5 x)-5\,\sin\left(5\,x\right)

內層導數為 5。

ddx[cos⁡(x3+1)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\cos\left(x^{3} + 1\right)\right]
−3 x2 sin⁡(x3+1)-3\,x^{2}\,\sin\left(x^{3} + 1\right)

保留正弦內的 x³+1。

常見錯誤

  • • 漏掉負號。
  • • 更換原本的角度。
  • • 忘記內層導數。
  • • 對餘弦套用正弦微分公式。

錯誤診斷：找出第一個不成立的步驟

錯誤嘗試

[cos(x)]'=sin(x)

錯在哪裡

變化方向被顛倒了。

正確處理

[cos(x)]'=−sin(x)

錯誤嘗試

[cos(5x)]'=−sin(5x)

錯在哪裡

漏掉內層導數 5。

正確處理

[cos(5x)]'=−5sin(5x)

改變結構，練習相同概念

揭示參考答案前，先指出法則及其條件，並解釋每個正負號與因子。

ddx[cos⁡(5 x)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\cos\left(5\,x\right)\right]

作答前檢查

內層導數為 5。

查看參考答案

參考答案

−5 sin⁡(5 x)-5\,\sin\left(5\,x\right)
ddx[cos⁡(x3+1)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\cos\left(x^{3} + 1\right)\right]

作答前檢查

保留正弦內的 x³+1。

查看參考答案

參考答案

−3 x2 sin⁡(x3+1)-3\,x^{2}\,\sin\left(x^{3} + 1\right)

用計算機試算同一道題

每個連結都會開啟對應計算機，並帶入完整算式、變數與必要條件。

微分:cos⁡x\cos x微分:cos⁡(x3+1)\cos\left(x^{3} + 1\right)
開啟未填入範例的計算機: 微分

常見問題

導數為什麼帶負號？+

餘弦在零點右側立刻下降，而差商保留了這個方向。

二階導數是什麼？+

微分 −sin(x)，得到 −cos(x)。

cos(−x) 有什麼不同？+

連鎖律與 cos(−x)=cos(x) 的恆等式一致，因此導數仍為 −sin(x)。

重點整理

餘弦的導數是負正弦。保留負號，並乘上所有內層導數。

比較使用方案