Derivadas trigonométricas

Derivada de cos(x): de dónde sale el signo negativo

El coseno empieza en un máximo y al principio disminuye, de modo que su derivada debe ser negativa cerca de cero. El cociente incremental permite precisar ese signo.

Respuesta directa

ddx[cos⁡x]=−sin⁡x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\cos x\right] = -\sin x

La fórmula habitual supone radianes; cos(g(x)) también requiere g′(x).

Cuándo usar la derivada del coseno

Elige el método según la estructura matemática principal antes de manipular símbolos. Las condiciones forman parte del problema, no son notas opcionales.

Qué comprobar primero 1

¿Qué estructura determina el método?

Qué hacer

Usa la regla del coseno para cos(g(x)) y después comprueba si g(x) es una expresión compuesta.

Qué comprobar primero 2

¿Qué condición puede cambiar la respuesta?

Qué hacer

La fórmula habitual supone radianes; cos(g(x)) también requiere g′(x).

Qué comprobar primero 3

¿Cómo se debe comprobar el resultado?

Qué hacer

Comprueba el signo negativo cerca de cero y confirma que el ángulo original permanece dentro del seno.

Seguir el signo en el cociente incremental

Desarrolla cos(x+h)=cos(x)cos(h)−sin(x)sin(h).

Resta cos(x), divide entre h y separa los dos límites conocidos.

El término del coseno tiende a cero y el cociente del seno tiende a uno, por lo que queda −sin(x).

Para cos(g(x)), multiplica −sin(g(x)) por g′(x).

1
cos⁡(x+h)=cos⁡x cos⁡h−sin⁡x sin⁡h\cos\left(x + h\right) = \cos x\,\cos h - \sin x\,\sin h
2
lim sin(h)/h=1
3
[cos(g(x))]'=−sin(g(x))g'(x)

Ejemplos resueltos

ddx[cos⁡x]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\cos x\right]
−sin⁡x-\sin x

El signo negativo forma parte de la regla.

ddx[cos⁡(5 x)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\cos\left(5\,x\right)\right]
−5 sin⁡(5 x)-5\,\sin\left(5\,x\right)

La derivada interior es 5.

ddx[cos⁡(x3+1)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\cos\left(x^{3} + 1\right)\right]
−3 x2 sin⁡(x3+1)-3\,x^{2}\,\sin\left(x^{3} + 1\right)

Conserva x³+1 dentro del seno.

Errores comunes

  • • Perder el signo negativo.
  • • Sustituir el ángulo original.
  • • Olvidar la derivada interior.
  • • Usar la regla del seno para el coseno.

Análisis de errores: encuentra el primer paso inválido

Intento incorrecto

[cos(x)]'=sin(x)

Por qué falla

Se invierte la dirección de cambio.

Corrección

[cos(x)]'=−sin(x)

Intento incorrecto

[cos(5x)]'=−sin(5x)

Por qué falla

Falta la derivada interior 5.

Corrección

[cos(5x)]'=−5sin(5x)

Practica la misma idea con una estructura distinta

Identifica la regla y sus condiciones antes de mostrar la respuesta de referencia. Explica cada signo y factor.

ddx[cos⁡(5 x)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\cos\left(5\,x\right)\right]

Comprueba antes de resolver

La derivada interior es 5.

Ver la respuesta de referencia

Respuesta de referencia

−5 sin⁡(5 x)-5\,\sin\left(5\,x\right)
ddx[cos⁡(x3+1)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\cos\left(x^{3} + 1\right)\right]

Comprueba antes de resolver

Conserva x³+1 dentro del seno.

Ver la respuesta de referencia

Respuesta de referencia

−3 x2 sin⁡(x3+1)-3\,x^{2}\,\sin\left(x^{3} + 1\right)

Prueba los ejemplos en la calculadora

Cada enlace abre la calculadora correspondiente con la expresión, la variable y las condiciones necesarias ya completadas.

Derivadas:cos⁡x\cos xDerivadas:cos⁡(x3+1)\cos\left(x^{3} + 1\right)
Abrir la calculadora sin un ejemplo: Derivadas

Preguntas frecuentes

¿Por qué la derivada es negativa?+

El coseno disminuye inmediatamente a la derecha de cero y el cociente conserva esa dirección.

¿Cuál es la segunda derivada?+

Deriva −sin(x) para obtener −cos(x).

¿Qué cambia para cos(−x)?+

La regla de la cadena coincide con la identidad cos(−x)=cos(x), así que la derivada sigue siendo −sin(x).

Conclusión

La derivada del coseno es el seno negativo. Conserva el signo y multiplica por cualquier derivada interior.

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