Derivadas trigonométricas

Derivada de sin(x): por qué es cos(x)

La derivada del seno mide la velocidad vertical instantánea en la circunferencia unitaria. La medida en radianes relaciona el ángulo con la longitud de arco, por lo que no aparece una constante de conversión.

Respuesta directa

ddx[sin⁡x]=cos⁡x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sin x\right] = \cos x

La fórmula habitual supone radianes; sin(g(x)) también requiere multiplicar por g′(x).

Cuándo usar la derivada del seno

Elige el método según la estructura matemática principal antes de manipular símbolos. Las condiciones forman parte del problema, no son notas opcionales.

Qué comprobar primero 1

¿Qué estructura determina el método?

Qué hacer

Usa la regla del seno para sin(g(x)) y después inspecciona g(x) para identificar el factor de la regla de la cadena.

Qué comprobar primero 2

¿Qué condición puede cambiar la respuesta?

Qué hacer

La fórmula habitual supone radianes; sin(g(x)) también requiere multiplicar por g′(x).

Qué comprobar primero 3

¿Cómo se debe comprobar el resultado?

Qué hacer

Confirma que el ángulo original permanece dentro del coseno y que están presentes todas las derivadas interiores.

Demostración con el cociente incremental

Desarrolla sin(x+h) con la identidad de suma de ángulos dentro del cociente incremental.

Separa sin(x)[cos(h)−1]/h de cos(x)sin(h)/h.

El primer límite conocido es cero y el segundo es uno, de modo que queda cos(x).

Para sin(g(x)), conserva g(x) dentro del coseno y multiplica por g′(x).

1
sin⁡(x+h)=sin⁡x cos⁡h+cos⁡x sin⁡h\sin\left(x + h\right) = \sin x\,\cos h + \cos x\,\sin h
2
lim sin(h)/h=1
3
[sin(g(x))]'=cos(g(x))g'(x)

Ejemplos resueltos

ddx[sin⁡x]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sin x\right]
cos⁡x\cos x

Regla directa del seno en radianes.

ddx[sin⁡(3 x)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sin\left(3\,x\right)\right]
3 cos⁡(3 x)3\,\cos\left(3\,x\right)

Multiplica por la derivada interior 3.

ddx[sin⁡(x2)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sin\left(x^{2}\right)\right]
2x cos(x²)

Conserva x² dentro del coseno y multiplica por 2x.

Errores comunes

  • • Escribir −sin(x), que corresponde al coseno.
  • • Usar grados sin el factor π/180.
  • • Omitir la derivada interior.
  • • Sustituir g(x) por g′(x) dentro del coseno.

Análisis de errores: encuentra el primer paso inválido

Intento incorrecto

[sin(x²)]'=cos(x²)

Por qué falla

Falta la derivada interior 2x.

Corrección

[sin(x²)]'=2x cos(x²)

Intento incorrecto

[sin(x)]'=−sin(x)

Por qué falla

Se confunde el ciclo de derivadas del seno y del coseno.

Corrección

[sin(x)]'=cos(x)

Practica la misma idea con una estructura distinta

Identifica la regla y sus condiciones antes de mostrar la respuesta de referencia. Explica cada signo y factor.

ddx[sin⁡(3 x)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sin\left(3\,x\right)\right]

Comprueba antes de resolver

Multiplica por la derivada interior 3.

Ver la respuesta de referencia

Respuesta de referencia

3 cos⁡(3 x)3\,\cos\left(3\,x\right)
ddx[sin⁡(x2)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sin\left(x^{2}\right)\right]

Comprueba antes de resolver

Conserva x² dentro del coseno y multiplica por 2x.

Ver la respuesta de referencia

Respuesta de referencia

2x cos(x²)

Prueba los ejemplos en la calculadora

Cada enlace abre la calculadora correspondiente con la expresión, la variable y las condiciones necesarias ya completadas.

Derivadas:sin⁡x\sin xDerivadas:sin⁡(x2)\sin\left(x^{2}\right)
Abrir la calculadora sin un ejemplo: Derivadas

Preguntas frecuentes

¿Por qué x debe estar en radianes?+

Los límites conocidos utilizados en la demostración toman sus valores unitarios con la medida en radianes.

¿Cuál es la segunda derivada?+

Deriva cos(x) para obtener −sin(x).

¿La derivada de sin(x²) es cos(x²)?+

No. La regla de la cadena añade 2x.

Conclusión

En radianes, la derivada del seno es el coseno. Para un ángulo compuesto, conserva el ángulo y multiplica por su derivada.

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