三角函數微分

sin(x) 的導數：為什麼是 cos(x)

正弦的導數衡量沿單位圓運動時，垂直方向的瞬時速度。弧度讓角度與弧長一致，因此不會出現換算常數。

先看結論

ddx[sin⁡x]=cos⁡x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sin x\right] = \cos x

標準公式假設角度以弧度表示；sin(g(x)) 還須乘上 g′(x)。

什麼時候使用sin(x) 的導數？

操作符號前，先從最外層的數學結構選擇方法。條件是題目的一部分，不是可省略的附註。

先確認 1

哪個結構決定方法？

接下來怎麼做

對 sin(g(x)) 使用正弦微分公式，再檢查 g(x) 的連鎖律因子。

先確認 2

哪些條件會改變答案？

接下來怎麼做

標準公式假設角度以弧度表示；sin(g(x)) 還須乘上 g′(x)。

先確認 3

應該如何檢查結果？

接下來怎麼做

確認餘弦內仍是原角度，而且每個內層變化率都已保留。

差商推導

在差商中，使用和角公式展開 sin(x+h)。

分開 sin(x)[cos(h)−1]/h 與 cos(x)sin(h)/h。

第一個標準極限為零，第二個為一，因此留下 cos(x)。

對 sin(g(x))，保留餘弦內的 g(x)，並乘上 g′(x)。

1
sin⁡(x+h)=sin⁡x cos⁡h+cos⁡x sin⁡h\sin\left(x + h\right) = \sin x\,\cos h + \cos x\,\sin h
2
lim sin(h)/h=1
3
[sin(g(x))]'=cos(g(x))g'(x)

解題範例

ddx[sin⁡x]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sin x\right]
cos⁡x\cos x

以弧度直接套用正弦微分公式。

ddx[sin⁡(3 x)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sin\left(3\,x\right)\right]
3 cos⁡(3 x)3\,\cos\left(3\,x\right)

乘上內層導數 3。

ddx[sin⁡(x2)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sin\left(x^{2}\right)\right]
2x cos(x²)

保留餘弦內的 x²，並乘上 2x。

常見錯誤

  • • 寫成屬於餘弦導數的 −sin(x)。
  • • 使用角度卻漏掉 π/180。
  • • 漏掉內層導數。
  • • 將餘弦內的 g(x) 換成 g′(x)。

錯誤診斷：找出第一個不成立的步驟

錯誤嘗試

[sin(x²)]'=cos(x²)

錯在哪裡

漏掉內層變化率 2x。

正確處理

[sin(x²)]'=2x cos(x²)

錯誤嘗試

[sin(x)]'=−sin(x)

錯在哪裡

混淆了正弦與餘弦的導數循環。

正確處理

[sin(x)]'=cos(x)

改變結構，練習相同概念

揭示參考答案前，先指出法則及其條件，並解釋每個正負號與因子。

ddx[sin⁡(3 x)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sin\left(3\,x\right)\right]

作答前檢查

乘上內層導數 3。

查看參考答案

參考答案

3 cos⁡(3 x)3\,\cos\left(3\,x\right)
ddx[sin⁡(x2)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sin\left(x^{2}\right)\right]

作答前檢查

保留餘弦內的 x²，並乘上 2x。

查看參考答案

參考答案

2x cos(x²)

用計算機試算同一道題

每個連結都會開啟對應計算機，並帶入完整算式、變數與必要條件。

微分:sin⁡x\sin x微分:sin⁡(x2)\sin\left(x^{2}\right)
開啟未填入範例的計算機: 微分

常見問題

為什麼 x 必須用弧度？+

證明所用的標準極限，只有以弧度表示時才會得到那些單位值。

二階導數是什麼？+

微分 cos(x)，得到 −sin(x)。

sin(x²) 的導數是 cos(x²) 嗎？+

不是，連鎖律還會乘上 2x。

重點整理

以弧度表示時，正弦的導數是餘弦。複合角度要保留原角度，再乘上它的導數。

比較使用方案