Integrales trigonométricas

Integrales de sin(x) y cos(x): signos y factores

Estas primitivas invierten el ciclo de derivadas. El signo negativo corresponde a la integral del seno porque la derivada del coseno es el seno negativo.

Respuesta directa

∫sin(x)dx=−cos(x)+C; ∫cos(x)dx=sin(x)+C

Para sin(ax+b) o cos(ax+b), divide entre la pendiente interior no nula a.

Elección del método: Integrales del seno y del coseno

Elige el método según la estructura matemática principal antes de manipular símbolos. Las condiciones forman parte del problema, no son notas opcionales.

Qué comprobar primero 1

¿Qué estructura determina el método?

Qué hacer

Usa primitivas trigonométricas directas cuando la derivada interior esté presente salvo una constante.

Qué comprobar primero 2

¿Qué condición puede cambiar la respuesta?

Qué hacer

Para sin(ax+b) o cos(ax+b), divide entre la pendiente interior no nula a.

Qué comprobar primero 3

¿Cómo se debe comprobar el resultado?

Qué hacer

Deriva la respuesta y compara tanto la función como su coeficiente.

Invertir el ciclo de derivadas

Deriva −cos(x) para recuperar sin(x).

Deriva sin(x) para recuperar cos(x).

Para ax+b, la sustitución introduce la división entre a.

Un ángulo no lineal necesita un factor de derivada que encaje u otro método.

1
[−cos(x)]'=sin(x)
2
[sin(x)]'=cos(x)
3
∫sin(ax+b)dx=−cos(ax+b)/a+C

Ejemplos resueltos

∫sin⁡x dx\int \sin x\,\mathrm{d}x
−cos⁡x+C-\cos x + C

Conserva el signo negativo.

∫cos⁡(3 x) dx\int \cos\left(3\,x\right)\,\mathrm{d}x
sin⁡(3 x)3+C\frac{\sin\left(3\,x\right)}{3} + C

Divide entre la pendiente interior.

∫2x cos(x²) dx
sin⁡(x2)+C\sin\left(x^{2}\right) + C

La derivada interior está presente.

Errores comunes

  • • Omitir el signo negativo de la integral del seno.
  • • Multiplicar por a en lugar de dividir.
  • • Suponer que toda composición tiene una primitiva elemental.
  • • Omitir C.

Análisis de errores: encuentra el primer paso inválido

Intento incorrecto

∫sin(x)dx=cos(x)+C

Por qué falla

cos′(x)=−sin(x).

Corrección

−cos⁡x+C-\cos x + C

Intento incorrecto

∫cos(3x)dx=3sin(3x)+C

Por qué falla

Su derivada es 9cos(3x).

Corrección

sin⁡(3 x)3+C\frac{\sin\left(3\,x\right)}{3} + C

Practica la misma idea con una estructura distinta

Identifica la regla y sus condiciones antes de mostrar la respuesta de referencia. Explica cada signo y factor.

∫cos⁡(3 x) dx\int \cos\left(3\,x\right)\,\mathrm{d}x

Comprueba antes de resolver

Divide entre la pendiente interior.

Ver la respuesta de referencia

Respuesta de referencia

sin⁡(3 x)3+C\frac{\sin\left(3\,x\right)}{3} + C
∫2x cos(x²) dx

Comprueba antes de resolver

La derivada interior está presente.

Ver la respuesta de referencia

Respuesta de referencia

sin⁡(x2)+C\sin\left(x^{2}\right) + C

Prueba los ejemplos en la calculadora

Cada enlace abre la calculadora correspondiente con la expresión, la variable y las condiciones necesarias ya completadas.

Integrales:sin⁡x\sin xIntegrales:cos⁡(3 x)\cos\left(3\,x\right)
Abrir la calculadora sin un ejemplo: Integrales

Preguntas frecuentes

¿Por qué coseno negativo?+

Al derivar −cos(x) se obtiene sin(x).

¿Por qué dividir entre a?+

La derivación multiplica por a, así que la integración lo compensa.

¿Y si falta la derivada interior?+

Una constante puede ajustarse; un factor no constante que falte puede requerir otro método.

Conclusión

Invierte el ciclo de derivadas, conserva el signo de la integral del seno, ajusta la pendiente interior y verifica la respuesta.

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