Aprender cálculo
Continuidad y discontinuidades: valores, límites, huecos y saltos
La continuidad requiere tres comprobaciones, no solo la existencia de un límite. Un hueco evitable puede tener un límite finito pero carecer de valor de la función. En un salto, los límites laterales son incompatibles; en una discontinuidad infinita, el comportamiento cerca del punto no está acotado.
Respuesta directa
En un extremo del dominio, usa la condición lateral correspondiente. Continuidad y derivabilidad son propiedades distintas.
Continuidad y discontinuidades paso a paso
Para (x²−4)/(x−2), simplifica a x+2 solo cuando x≠2. El límite en 2 es 4, pero la función original no está definida allí.
Definir el valor ausente como 4 elimina el hueco. Si lo defines como cualquier otro número, la función sigue siendo discontinua.
Una función a trozos que vale −1 para x<0 y 1 para x≥0 tiene un salto en cero: el límite por la izquierda es −1 y por la derecha es 1.
Para 1/x en cero, los comportamientos por la izquierda y por la derecha son no acotados y tienen signos opuestos. Ningún valor finito único corrige esta discontinuidad.
La función |x| es continua en cero, pero sus pendientes laterales no coinciden. Por tanto, una gráfica continua puede no tener derivada.
Ejemplos resueltos
Define f(2)=4 para corregirlo.
Los dos lados no tienen el mismo límite finito.
La continuidad no garantiza una pendiente tangente.
Errores comunes
- • Restaurar puntos excluidos después de simplificar sin definirlos.
- • Comprobar solo el límite por la derecha en un punto interior.
- • Confundir continuidad con derivabilidad.
Prueba el ejemplo compatible con la calculadora
El enlace carga una expresión compatible con su variable y sus condiciones. Los demás ejemplos son explicaciones de referencia, no una garantía de que el motor admita todos los métodos.
El ejemplo calcula el límite, no f(2). La lección conserva la exclusión original y no afirma que la función sea continua.
Abrir la calculadora sin un ejemplo: LímitesReferencias
Preguntas frecuentes
¿Una función puede ser discontinua donde existe su límite?+
Sí, si le falta el valor en ese punto o si dicho valor difiere del límite.
¿Puedo corregir un salto cambiando un solo punto?+
No. Cambiar un valor no hace coincidir límites laterales distintos.
¿El ejemplo clasifica cualquier función a trozos?+
No. Evalúa el límite de un hueco racional; comprobar la continuidad completa también requiere el valor original en el punto.
Conclusión
La continuidad y las discontinuidades parten del dominio y las condiciones indicados. Vuelve a comprobarlos antes de aplicar un ejemplo resuelto a otro problema.
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