微積分學習
連續與不連續：函數值、極限、空點與跳躍
檢查連續性需要三個條件，不能只看極限是否存在。可去的空點可能有有限極限，卻沒有函數值。跳躍不連續的左右極限不相同；無窮不連續則在該點附近出現無界行為。
先看結論
在內部點 a 連續，必須 f(a) 存在、lim x→a f(x) 存在，而且兩者相等。
在定義域的端點，使用適當的單側條件。連續與可微分是不同的性質。
連續與不連續的完整判斷方法
對 (x²−4)/(x−2)，只有 x≠2 時才能約分成 x+2。在 2 處極限為 4，但原函數在該點沒有定義。
將缺少的函數值定義為 4，就能補上這個空點。定義成其他數值，函數仍然不連續。
分段函數若在 x<0 時為 −1，x≥0 時為 1，就在零點跳躍：左極限為 −1，右極限為 1。
1/x 在零點兩側都無界，但正負號相反。無法用單一有限函數值修補這個不連續點。
|x| 在零點連續，但單側斜率不相同。因此連續的圖形仍可能沒有導數。
1
lim x→2 (x²−4)/(x−2)=4，但 f(2) 沒有定義
2
連續性：f(a)=lim x→a f(x)
3
|x| 在 0 連續，但在 0 不可微分
解題範例
(x²−4)/(x−2) 在 2 處
可去的空點
設定 f(2)=4 可補上空點。
1/x 在 0 處
無窮不連續
兩側沒有相同的有限極限。
|x| 在 0 處
連續，但不可微分
連續並不保證存在切線斜率。
常見錯誤
- • 約分後未補上定義，就把原本排除的點加回。
- • 在內部點只檢查右極限。
- • 將連續與可微分視為同一件事。
試算計算機支援的範例
範例會帶入計算機支援的算式、變數與條件。指南中的其他解說是數學參考，不代表計算引擎支援所有方法。
預填例題計算的是極限，不是 f(2)。本篇保留原本排除的點，並不宣稱原函數連續。
開啟未填入範例的計算機: 極限參考資料
常見問題
極限存在，函數仍可能不連續嗎？+
可能。如果函數值不存在，或與極限不同，就不連續。
只改一個點的值，可以修補跳躍嗎？+
不可以。改變單一函數值，無法讓不同的左右極限相等。
預填例題能分類任意分段函數嗎？+
不能。它只計算有理函數空點的極限；完整的連續性檢查，還需要原函數在該點的值。
重點整理
判斷連續與不連續前，先確認題目列出的定義域與條件。將例題的方法用在另一題時，也要重新檢查這些限制。
比較使用方案