Significado de la derivada parcial

¿Por qué las otras variables se mantienen constantes al derivar parcialmente?

Tratar y como constante al derivar parcialmente respecto de x no significa que y sea siempre una constante universal. Significa que esta comparación modifica x y mantiene fija la otra coordenada.

Respuesta directa

Una derivada parcial mide el cambio en una dirección de coordenadas, por lo que durante esa medición se mantienen fijas las otras variables independientes.

Esta interpretación supone que las variables indicadas son coordenadas independientes; una relación de restricción entre ellas requiere otro análisis.

Argumento direccional: cambia una sola coordenada

Para f(x,y), la derivada parcial respecto de x compara f(x+h,y) con f(x,y). La coordenada y es idéntica en ambos valores; solo cambia x.

En x^2y, la y fija actúa como coeficiente. Derivar respecto de x da 2xy. En y^3 no cambia ninguna x: la derivada del término completo es cero.

En sin(xy), y permanece fija mientras la expresión interior xy cambia a la tasa y. La regla de la cadena da por tanto y cos(xy).

La instrucción de mantener una variable constante corresponde a la tarea seleccionada. Al cambiar a la derivada parcial respecto de y, se invierten los papeles.

1
f_x(x,y) = lim(h->0) [f(x+h,y)-f(x,y)]/h
2
d/dx (x^2y) = 2xy cuando y está fija
3
d/dx (y^3) = 0 cuando y está fija

Ejemplos resueltos

partial/partial x [x^2y+y^3]
2xy

El término y^3 es constante respecto de x y se convierte en cero.

partial/partial x sin(xy)
y cos(xy)

Mantén y fija y aplica la regla de la cadena al producto interior xy.

partial/partial y exp(x^2+y^2)
2y exp(x^2+y^2)

La parte x^2 permanece fija y y^2 aporta la derivada interior 2y.

Errores comunes

  • • Derivar todas las variables visibles aunque se haya seleccionado una sola variable activa.
  • • Eliminar una variable fija que debería conservarse como coeficiente.
  • • Afirmar que una variable es constante globalmente en vez de constante para esta tarea de derivación parcial.
  • • Aplicar la regla de mantener constantes las otras variables cuando existe una restricción explícita entre ellas.

Prueba los ejemplos en la calculadora

Cada enlace abre la calculadora correspondiente con la expresión, la variable y las condiciones necesarias ya completadas.

Calculadora de derivadas parciales:x2 y+y3x^{2}\,y + y^{3}Calculadora de derivadas parciales:sin⁡(x y)\sin\left(x\,y\right)Calculadora de derivadas parciales:x3 y2x^{3}\,y^{2}
Abrir la calculadora sin un ejemplo: Calculadora de derivadas parciales

Referencias

Preguntas frecuentes

¿Mantener y constante significa que y vale cero?+

No. Su valor se mantiene fijo, pero puede ser cualquier número permitido; por eso suele conservarse como coeficiente en la derivada.

¿Y si y depende de x?+

Entonces puede ser necesaria una derivada ordinaria o total. La derivada parcial estándar trata las coordenadas como ajustables de forma independiente.

¿Puede sobrevivir un término con y a una derivada parcial en x?+

Sí. Un término como x^2y cambia con x, así que y permanece en el resultado como multiplicador fijo.

Conclusión

Mantén fijas las coordenadas no seleccionadas, no necesariamente en cero. Pregunta después qué términos siguen cambiando con la variable activa y deriva solo esos cambios.

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