偏導數的意義
偏微分為什麼把其他變數視為常數？
對 x 偏微分時，把 y 視為常數，不表示 y 永遠是固定常數，而是這次比較只改變 x，其他座標維持不變。
先看結論
偏導數衡量一個座標方向上的變化，因此測量過程中，其他獨立變數保持固定。
這個解釋假設所列變數是獨立座標；受條件約束而相互連結的變數，需要不同分析。
方向觀點：只改變一個座標
對 f(x,y)，x 方向偏導數比較 f(x+h,y) 與 f(x,y)。兩個值的 y 座標相同，只有 x 改變。
x^2y 中，固定的 y 就像係數。對 x 微分得到 2xy。y^3 中沒有 x 改變，因此整項的導數為零。
對 sin(xy)，y 固定，內層 xy 以速率 y 改變，因此連鎖律給出 y cos(xy)。
視為常數的指示取決於所選任務。換成對 y 偏微分時，兩個變數的角色就交換。
1
f_x(x,y) = lim(h->0) [f(x+h,y)-f(x,y)]/h
2
d/dx (x^2y) = 2xy，當 y 固定
3
d/dx (y^3) = 0，當 y 固定
解題範例
partial/partial x [x^2y+y^3]
2xy
y^3 對 x 而言是常數，微分後為零。
partial/partial x sin(xy)
y cos(xy)
固定 y，再對內層乘積 xy 使用連鎖律。
partial/partial y exp(x^2+y^2)
2y exp(x^2+y^2)
x^2 固定，而 y^2 提供內層導數 2y。
常見錯誤
- • 只選定一個微分變數，卻對所有可見變數微分。
- • 刪掉應保留為係數的固定變數。
- • 把僅在本次偏微分固定的變數，說成始終不變的常數。
- • 變數受明確條件約束相互連結，仍套用固定其他變數的規則。
用計算機試算同一道題
每個連結都會開啟對應計算機，並帶入完整算式、變數與必要條件。
開啟未填入範例的計算機: 偏導數計算機參考資料
常見問題
固定 y 就表示 y 等於零嗎？+
不是。它保持固定，但可以是任一允許的數值，因此常以係數保留在導數中。
y 依賴 x 時呢？+
可能需要一般導數或全導數。標準偏導數將座標視為可獨立調整的變數。
含 y 的項，可以在 x 偏微分後保留嗎？+
可以。x^2y 這類項隨 x 改變，因此 y 仍以固定係數保留在結果中。
重點整理
固定未選中的座標，不是一定將它們設為零。接著判斷哪些項仍隨微分變數改變，只對那些變化微分。
比較使用方案