選擇微分變數

對 x 偏微分與對 y 偏微分

未選定方向前，表示式本身不能決定唯一的偏導數。在題目旁寫出改變與固定的變數，可以避免一類看似合理的常見錯誤。

先看結論

對 x 微分時固定 y；對 y 微分時固定 x。因此相同表示式可以得到兩個不同且正確的導數。

使用微分法則前，先辨認微分變數，並保留其他作為係數的變數。

並排比較：標出哪些量改變

從 f(x,y)=x^2y+y^3 開始。對 x 偏微分時，y 固定：x^2y 變成 2xy，y^3 變成零。

對 y 偏微分時，x 固定：x^2y 變成 x^2，y^3 變成 3y^2，結果為 x^2+3y^2。

兩個結果沒有誰比較完整，它們衡量同一個曲面在不同座標方向上的斜率。

可靠的流程是先寫「改變：x，固定：y」或「改變：y，固定：x」，再逐項微分。

1
f(x,y)=x^2y+y^3
2
f_x(x,y)=2xy
3
f_y(x,y)=x^2+3y^2

解題範例

partial/partial x [x^2y+y^3]
2xy

只有隨 x 改變的項有貢獻。

partial/partial y [x^2y+y^3]
x2+3 y2x^{2} + 3\,y^{2}

將 x^2 視為固定係數，並對兩個含 y 的項微分。

partial/partial x sin(xy)
y cos(xy)

xy 對 x 的內層導數為 y。

常見錯誤

  • • 兩個不同微分變數卻使用相同答案。
  • • 漏掉應保留為係數的固定變數。
  • • 對只含固定變數的項微分。
  • • 在計算機換了微分變數，卻未確認畫面上的條件。

用計算機試算同一道題

每個連結都會開啟對應計算機，並帶入完整算式、變數與必要條件。

偏導數計算機:x2 y+y3x^{2}\,y + y^{3}偏導數計算機:x2 y+y3x^{2}\,y + y^{3}偏導數計算機:sin⁡(x y)\sin\left(x\,y\right)
開啟未填入範例的計算機: 偏導數計算機

參考資料

常見問題

x 與 y 的偏導數可以相等嗎？+

對特定函數或點可能相等，但兩者使用不同的固定變數條件計算。

計算機預設使用哪個變數？+

微分變數控制項決定方向。求解或開啟指南例題前，請先確認這個標籤。

xy 這類混合項會怎麼樣？+

其 x 偏導數為 y，y 偏導數為 x；固定變數保留為係數。

重點整理

先選方向，說明固定哪些變數，再依畫面上的條件處理每一項。兩個偏導數回答的是不同問題。

比較使用方案