Elegir la variable activa

Derivada parcial respecto de x frente a respecto de y

Una expresión no determina una derivada parcial única hasta que se elige una dirección. Escribir junto al problema la variable activa y las variables fijas evita errores que, a primera vista, pueden parecer razonables.

Respuesta directa

Respecto de x, mantén y fija; respecto de y, mantén x fija. La misma expresión puede dar dos derivadas distintas y válidas.

Identifica siempre la variable activa antes de aplicar las reglas de derivación y conserva las otras variables que actúan como coeficientes.

Comparación paso a paso: marca qué cambia

Empieza con f(x,y)=x^2y+y^3. Para la derivada parcial en x, y está fija: x^2y se convierte en 2xy e y^3 en cero.

Para la derivada parcial en y, x está fija: x^2y se convierte en x^2 e y^3 en 3y^2. El resultado es x^2+3y^2.

Ningún resultado es más completo que el otro. Miden pendientes en direcciones de coordenadas distintas sobre la misma superficie.

Un procedimiento fiable es escribir «activa: x; fija: y» o «activa: y; fija: x» antes de derivar término a término.

1
f(x,y)=x^2y+y^3
2
f_x(x,y)=2xy
3
f_y(x,y)=x^2+3y^2

Ejemplos resueltos

partial/partial x [x^2y+y^3]
2xy

Solo contribuyen los términos que cambian con x.

partial/partial y [x^2y+y^3]
x2+3 y2x^{2} + 3\,y^{2}

Trata x^2 como un coeficiente fijo y deriva los dos términos con y.

partial/partial x sin(xy)
y cos(xy)

La derivada interior de xy respecto de x es y.

Errores comunes

  • • Usar la misma respuesta para ambas variables activas.
  • • Omitir una variable fija que debería conservarse como coeficiente.
  • • Derivar un término que solo contiene variables fijas.
  • • Cambiar la variable activa en la calculadora sin comprobar la condición mostrada.

Prueba los ejemplos en la calculadora

Cada enlace abre la calculadora correspondiente con la expresión, la variable y las condiciones necesarias ya completadas.

Calculadora de derivadas parciales:x2 y+y3x^{2}\,y + y^{3}Calculadora de derivadas parciales:x2 y+y3x^{2}\,y + y^{3}Calculadora de derivadas parciales:sin⁡(x y)\sin\left(x\,y\right)
Abrir la calculadora sin un ejemplo: Calculadora de derivadas parciales

Referencias

Preguntas frecuentes

¿Pueden coincidir las derivadas parciales en x e y?+

Pueden coincidir para una función o un punto concretos, pero se calculan manteniendo fijas variables diferentes.

¿Qué variable usa la calculadora de forma predeterminada?+

El control de variable activa determina la dirección. Comprueba esa etiqueta antes de calcular o abrir un ejemplo guiado.

¿Qué ocurre con un término mixto como xy?+

Su derivada parcial en x es y y la derivada parcial en y es x. La variable fija se conserva como coeficiente.

Conclusión

Elige primero la dirección, indica qué variables permanecen fijas y procesa cada término con esa condición visible. Las dos derivadas parciales responden a preguntas diferentes.

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