Métodos de derivación

Cómo calcular derivadas parciales: pasos y ejemplos

La derivación parcial es una derivación ordinaria con una elección importante: decidir qué variable independiente cambia. Todas las demás variables independientes se tratan como constantes durante ese cálculo.

Respuesta directa

Elige una variable y mantén constantes las demás variables independientes.

Una derivada parcial describe el cambio en una dirección independiente mientras las demás variables independientes permanecen fijas.

Elige qué derivada calcular antes de modificar el álgebra

Los símbolos por sí solos no indican qué derivada debes calcular. Identifica primero la variable activa y si las demás variables son coordenadas independientes o funciones de ella.

Qué comprobar primero 1

¿El problema pide ∂/∂x o ∂/∂y?

Qué hacer

Marca ese símbolo como activo y mantén fijas las demás coordenadas independientes.

Qué comprobar primero 2

¿La ecuación afirma o implica y=y(x)?

Qué hacer

Usa derivación ordinaria o implícita en lugar de tratar y como constante independiente.

Qué comprobar primero 3

¿Se pide una parcial mixta o de segundo orden?

Qué hacer

Calcula la primera parcial solicitada y después deriva ese resultado en la segunda dirección indicada.

Método resuelto: f(x,y)=x²y+y³

Para ∂f/∂x, x es la variable activa e y es constante. La derivada de x²y es 2xy, mientras que y³ aporta cero; por tanto, ∂f/∂x=2xy.

Para ∂f/∂y, y es la variable activa y x es constante. Ahora x²y aporta x² e y³ aporta 3y², así que ∂f/∂y=x²+3y².

Esto es distinto de la derivación implícita: aquí x e y son coordenadas independientes. Si una ecuación hace que y dependa de x, al derivar un término con y aparece dy/dx.

1
f(x,y) = x²y + y³
2
∂f/∂x = 2xy + 0 = 2xy
3
∂f/∂y = x² + 3y²

Ejemplos resueltos

∂∂x[x3 y2]\frac{\partial}{\partial x}\left[x^{3}\,y^{2}\right]
3 x2 y23\,x^{2}\,y^{2}

Trata y² como un multiplicador constante.

∂/∂y (sin(xy))
x cos(xy)

La derivada interior respecto de y es x.

∂²/∂y∂x (x²y+y³)
2 x2\,x

Para los polinomios suaves compatibles, deriva de nuevo la primera parcial en la dirección solicitada.

Errores comunes

  • • Derivar todas las variables a la vez en lugar de elegir la activa.
  • • Tratar una y=y(x) dependiente como una constante independiente; ese es un problema de derivación implícita.
  • • Suponer que las derivadas parciales mixtas siempre coinciden sin comprobar la suavidad cerca del punto.

Análisis de errores: mantener fijo no significa borrar

Intento incorrecto

∂∂x[x2 y+y3]=2 x+3 y2\frac{\partial}{\partial x}\left[x^{2}\,y + y^{3}\right] = 2\,x + 3\,y^{2}

Por qué falla

Se deriva y aunque x es la variable activa y se pierde el multiplicador fijo y de x²y.

Corrección

∂/∂x (x²y+y³) = 2xy

Intento incorrecto

∂/∂y sin(xy) = cos(xy)

Por qué falla

La derivada interior de xy respecto de y es x, no 1.

Corrección

∂/∂y sin(xy) = x cos(xy)

Ahora cambia tú la variable activa

Antes de derivar, escribe «activa» y «fija» junto a cada problema. Las dos preguntas usan el mismo método, pero conservan símbolos distintos.

∂∂x[x3 y+5 y2]\frac{\partial}{\partial x}\left[x^{3}\,y + 5\,y^{2}\right]

Comprueba antes de resolver

Mantén y fija y decide qué término se convierte en cero.

Ver la respuesta de referencia

Respuesta de referencia

3 x2 y3\,x^{2}\,y
∂/∂y sin(xy)

Comprueba antes de resolver

Conserva x como derivada interior respecto de y.

Ver la respuesta de referencia

Respuesta de referencia

x cos(xy)

Prueba los ejemplos en la calculadora

Cada enlace abre la calculadora correspondiente con la expresión, la variable y las condiciones necesarias ya completadas.

Calculadora de derivadas parciales:x2 y+y3x^{2}\,y + y^{3}Calculadora de derivadas parciales:x2 y+y3x^{2}\,y + y^{3}
Abrir la calculadora sin un ejemplo: Calculadora de derivadas parciales

Referencias

Preguntas frecuentes

¿Mantener y constante significa fijar y=0?+

No. Su valor permanece fijo durante esta comparación, de modo que puede conservarse como coeficiente en términos que sí cambian con x.

¿Qué diferencia hay entre una derivada parcial y la derivación implícita?+

Una derivada parcial varía una coordenada independiente. La derivación implícita trata variables como y como funciones de x porque una ecuación las relaciona.

¿Puedo tomar una derivada parcial dos veces?+

Sí. Deriva de nuevo la primera parcial en la dirección solicitada y comprueba que las derivadas necesarias existan cerca del punto.

Conclusión

Elige primero la variable activa, indica qué se mantiene fijo y procesa cada término bajo esa condición. Esa decisión distingue la derivación parcial de varias tareas que se parecen.

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