Métodos de integración

Integración por partes: elegir u y dv

La integración por partes invierte la regla del producto. Es útil cuando un factor se simplifica al derivarlo y el otro se integra fácilmente.

Respuesta directa

∫u dv\int u\,\mathrm{d}v

Elige dv para que pueda integrarse y u para que derivarlo simplifique la integral restante.

Elección del método: Integración por partes

Elige el método según la estructura matemática principal antes de manipular símbolos. Las condiciones forman parte del problema, no son notas opcionales.

Qué comprobar primero 1

¿Qué estructura determina el método?

Qué hacer

Usa integración por partes para un producto cuyo factor se simplifica al derivarlo y cuyo otro factor es integrable.

Qué comprobar primero 2

¿Qué condición puede cambiar la respuesta?

Qué hacer

Elige dv para que pueda integrarse y u para que derivarlo simplifique la integral restante.

Qué comprobar primero 3

¿Cómo se debe comprobar el resultado?

Qué hacer

Deriva la expresión completa y confirma que los términos de producto se cancelan correctamente.

Reorganizar la regla del producto

Empieza con d(uv)=u dv+v du.

Integra ambos lados en el mismo intervalo o como primitivas.

Pasa ∫v du al otro lado para obtener ∫u dv=uv−∫v du.

Si la nueva integral es más difícil, reconsidera la elección o prueba sustitución.

1
d(uv)=u dv+v du
2
uv=∫u dv+∫v du
3
∫u dv\int u\,\mathrm{d}v

Ejemplos resueltos

∫x exp(x) dx
ex (x−1)+Ce^{x}\,\left(x - 1\right) + C

Elige u=x y dv=exp(x)dx.

∫x cos(x) dx
x sin(x)+cos(x)+C

Elige u=x y dv=cos(x)dx.

∫ln⁡x dx\int \ln x\,\mathrm{d}x
x ln(x)−x+C

Trata ln(x) como ln(x)·1 para x>0.

Errores comunes

  • • Perder el signo de resta.
  • • Elegir un dv difícil.
  • • Detenerse antes de evaluar la integral restante.
  • • Usar integración por partes cuando la sustitución es más sencilla.

Análisis de errores: encuentra el primer paso inválido

Intento incorrecto

∫x exp(x)dx=x exp(x)+exp(x)

Por qué falla

El término restante debe restarse.

Corrección

x exp(x)−exp(x)+C

Intento incorrecto

∫ln(x)dx=x ln(x)

Por qué falla

Su derivada es ln(x)+1.

Corrección

x ln(x)−x+C

Practica la misma idea con una estructura distinta

Identifica la regla y sus condiciones antes de mostrar la respuesta de referencia. Explica cada signo y factor.

∫x cos(x) dx

Comprueba antes de resolver

Elige u=x y dv=cos(x)dx.

Ver la respuesta de referencia

Respuesta de referencia

x sin(x)+cos(x)+C
∫ln⁡x dx\int \ln x\,\mathrm{d}x

Comprueba antes de resolver

Trata ln(x) como ln(x)·1 para x>0.

Ver la respuesta de referencia

Respuesta de referencia

x ln(x)−x+C

Prueba los ejemplos en la calculadora

Cada enlace abre la calculadora correspondiente con la expresión, la variable y las condiciones necesarias ya completadas.

Integrales:x exx\,e^{x}Integrales:x cos⁡xx\,\cos x
Abrir la calculadora sin un ejemplo: Integrales

Preguntas frecuentes

¿Qué debería ser u?+

Prefiere un factor que se simplifique al derivarlo.

¿Se puede repetir la integración por partes?+

Sí. Un polinomio multiplicado por una exponencial o expresión trigonométrica suele requerir varios pasos.

¿Cómo verifico el signo?+

Deriva uv−∫vdu y confirma que se recupera el integrando.

Conclusión

Elige u y dv para simplificar la integral restante, conserva el signo menos y verifica derivando.

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