積分方法
分部積分：如何選擇 u 與 dv
分部積分是乘積法則的逆向操作。當一個因子微分後會簡化，另一個因子容易積分，就很適合。
先看結論
選擇可積分的 dv，並讓 u 微分後能簡化剩餘積分。
什麼時候使用分部積分？
操作符號前，先從最外層的數學結構選擇方法。條件是題目的一部分，不是可省略的附註。
先確認 1
哪個結構決定方法？
接下來怎麼做
乘積中有一個因子微分後會簡化，且另一個可積分時，使用分部積分。
先確認 2
哪些條件會改變答案？
接下來怎麼做
選擇可積分的 dv，並讓 u 微分後能簡化剩餘積分。
先確認 3
應該如何檢查結果？
接下來怎麼做
微分完整答案，確認乘積項正確消去。
重排乘積法則
從 d(uv)=u dv+v du 開始。
兩邊在同一區間積分，或求反導函數。
將 ∫v du 移項，得到 ∫u dv=uv−∫v du。
新積分若更困難，重新選擇因子，或嘗試變數代換。
1
d(uv)=u dv+v du
2
uv=∫u dv+∫v du
3
解題範例
∫x exp(x) dx
選擇 u=x，dv=exp(x)dx。
∫x cos(x) dx
x sin(x)+cos(x)+C
選擇 u=x，dv=cos(x)dx。
x ln(x)−x+C
x>0 時，將 ln(x) 寫成 ln(x)·1。
常見錯誤
- • 漏掉減號。
- • 選了難以積分的 dv。
- • 未算完剩餘積分就停止。
- • 代換更簡單時，仍使用分部積分。
錯誤診斷：找出第一個不成立的步驟
錯誤嘗試
∫x exp(x)dx=x exp(x)+exp(x)
錯在哪裡
剩餘項必須相減。
正確處理
x exp(x)−exp(x)+C
錯誤嘗試
∫ln(x)dx=x ln(x)
錯在哪裡
微分得到 ln(x)+1。
正確處理
x ln(x)−x+C
改變結構，練習相同概念
揭示參考答案前，先指出法則及其條件，並解釋每個正負號與因子。
∫x cos(x) dx
作答前檢查
選擇 u=x，dv=cos(x)dx。
查看參考答案
參考答案
x sin(x)+cos(x)+C
作答前檢查
x>0 時，將 ln(x) 寫成 ln(x)·1。
查看參考答案
參考答案
x ln(x)−x+C
用計算機試算同一道題
每個連結都會開啟對應計算機，並帶入完整算式、變數與必要條件。
開啟未填入範例的計算機: 積分常見問題
哪一部分應該選為 u？+
優先選擇微分後會變簡單的因子。
可以重複分部積分嗎？+
可以。多項式乘上指數或三角函數，常需要重複操作。
如何驗證正負號？+
微分 uv−∫vdu，確認能還原被積函數。
重點整理
選擇能簡化剩餘積分的 u 與 dv，保留減號，並以微分驗證。
比較使用方案