Derivadas por tramos

Derivada de |x|: regla por tramos y esquina en cero

El valor absoluto une dos rectas de pendientes distintas. Es continuo en cero, pero sus derivadas por la izquierda y por la derecha no coinciden.

Respuesta directa

d/dx |x| = x/|x| para x≠0; no está definida en x=0

La fórmula excluye cero; cada cero de una expresión interior compuesta requiere análisis directo.

Elección del método: Derivada de |x|

Elige el método según la estructura matemática principal antes de manipular símbolos. Las condiciones forman parte del problema, no son notas opcionales.

Qué comprobar primero 1

¿Qué estructura determina el método?

Qué hacer

Usa la definición por tramos donde la expresión pueda cambiar de signo.

Qué comprobar primero 2

¿Qué condición puede cambiar la respuesta?

Qué hacer

La fórmula excluye cero; cada cero de una expresión interior compuesta requiere análisis directo.

Qué comprobar primero 3

¿Cómo se debe comprobar el resultado?

Qué hacer

Compara las derivadas por la izquierda y por la derecha en cada cero de la expresión interior.

Usar la definición por tramos

Para x>0, |x|=x y la derivada es 1.

Para x<0, |x|=−x y la derivada es −1.

En cero, las derivadas laterales son 1 y −1, por lo que la derivada ordinaria no existe.

Para |g(x)| fuera de g(x)=0, la regla de la cadena da g(x)g′(x)/|g(x)|.

1
|x|'=1 para x>0
2
|x|'=−1 para x<0
3
|x|' no está definida en 0

Ejemplos resueltos

d/dx |x| en x=2
11

Usa la rama positiva.

d/dx |x| en x=−2
−1-1

Usa la rama negativa.

d/dx |x²−1|
2x(x²−1)/|x²−1| fuera de ±1

Analiza x=±1 por separado.

Errores comunes

  • • Afirmar que la derivada siempre es 1.
  • • Usar x/|x| en cero.
  • • Suponer que la continuidad implica derivabilidad.
  • • Ignorar los ceros de la función interior.

Análisis de errores: encuentra el primer paso inválido

Intento incorrecto

[|x|]'=1 para todo x

Por qué falla

La rama negativa tiene pendiente −1 y en cero hay una esquina.

Corrección

x/|x| para x≠0; no está definida en 0

Intento incorrecto

[|x²−1|]'=2x en todas partes

Por qué falla

Los cambios de signo y los puntos x=±1 requieren análisis aparte.

Corrección

2x(x²−1)/|x²−1| fuera de ±1

Practica la misma idea con una estructura distinta

Identifica la regla y sus condiciones antes de mostrar la respuesta de referencia. Explica cada signo y factor.

d/dx |x| en x=−2

Comprueba antes de resolver

Usa la rama negativa.

Ver la respuesta de referencia

Respuesta de referencia

−1-1
d/dx |x²−1|

Comprueba antes de resolver

Analiza x=±1 por separado.

Ver la respuesta de referencia

Respuesta de referencia

2x(x²−1)/|x²−1| fuera de ±1

Prueba los ejemplos en la calculadora

Cada enlace abre la calculadora correspondiente con la expresión, la variable y las condiciones necesarias ya completadas.

Derivadas:∣x∣\left|x\right|Derivadas:∣x2−1∣\left|x^{2} - 1\right|
Abrir la calculadora sin un ejemplo: Derivadas

Preguntas frecuentes

¿|x| es continua en cero?+

Sí, pero las derivadas laterales son distintas.

¿Qué es sign(x)?+

Para x≠0, sign(x)=x/|x|, que coincide con la derivada de |x|.

¿Todo cero de g crea una esquina en |g|?+

No siempre; examina cómo g cruza o toca cero.

Conclusión

Deriva el valor absoluto por tramos y trata cada cero de la expresión interior como una cuestión de derivabilidad independiente.

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