分段函數微分
|x| 的導數：分段法則與零點的尖角
絕對值函數由兩條斜率不同的直線接合而成。它在零點連續，但左右導數不同。
先看結論
d/dx |x| = x/|x|（x≠0）；x=0 時無定義
公式不含零點；複合函數內層的每個零點都需要直接分析。
什麼時候使用|x| 的導數？
操作符號前，先從最外層的數學結構選擇方法。條件是題目的一部分，不是可省略的附註。
先確認 1
哪個結構決定方法？
接下來怎麼做
在可能改變正負號的地方，使用分段定義。
先確認 2
哪些條件會改變答案？
接下來怎麼做
公式不含零點；複合函數內層的每個零點都需要直接分析。
先確認 3
應該如何檢查結果？
接下來怎麼做
比較內層函數每個零點的左右導數。
使用分段定義
x>0 時，|x|=x，導數為 1。
x<0 時，|x|=−x，導數為 −1。
零點的右、左導數分別為 1 與 −1，因此普通導數不存在。
對 g(x)≠0 的地方，連鎖律給出 |g(x)| 的導數 g(x)g′(x)/|g(x)|。
1
|x|′=1（x>0）
2
|x|′=−1（x<0）
3
|x|′ 在 0 無定義
解題範例
d/dx |x|，x=2
使用正值分支。
d/dx |x|，x=−2
使用負值分支。
d/dx |x²−1|
2x(x²−1)/|x²−1|（x≠±1）
另外分析 x=±1。
常見錯誤
- • 宣稱導數永遠為 1。
- • 在零點使用 x/|x|。
- • 以為連續就代表可微分。
- • 忽略內層函數的零點。
錯誤診斷：找出第一個不成立的步驟
錯誤嘗試
[|x|]'=1 （所有 x）
錯在哪裡
負值分支的斜率為 −1，而零點有尖角。
正確處理
x/|x| （x≠0）；0 處無定義
錯誤嘗試
[|x²−1|]'=2x （所有點）
錯在哪裡
正負號會改變，x=±1 需要另外分析。
正確處理
2x(x²−1)/|x²−1| （x≠±1）
改變結構，練習相同概念
揭示參考答案前，先指出法則及其條件，並解釋每個正負號與因子。
d/dx |x|，x=−2
作答前檢查
使用負值分支。
查看參考答案
參考答案
d/dx |x²−1|
作答前檢查
另外分析 x=±1。
查看參考答案
參考答案
2x(x²−1)/|x²−1|（x≠±1）
用計算機試算同一道題
每個連結都會開啟對應計算機，並帶入完整算式、變數與必要條件。
開啟未填入範例的計算機: 微分常見問題
|x| 在零點連續嗎？+
是，但左右導數不同。
sign(x) 是什麼？+
x≠0 時，sign(x)=x/|x|，正好等於 |x| 的導數。
g 的每個零點都會讓 |g| 出現尖角嗎？+
不一定，必須檢查 g 如何穿過或接觸零點。
重點整理
分段微分絕對值，並將內層函數的每個零點視為獨立的可微分性問題。
比較使用方案