基本微分法則

冪法則：指數與適用條件

冪法則將固定指數減 1，並把原指數作為係數。變數在指數中時，不能直接使用這個法則。

先看結論

d/dx xⁿ = nxⁿ⁻¹

實數區間必須符合原冪函數的定義域；底數為複合函數時還需要連鎖律。

什麼時候使用冪法則？

操作符號前，先從最外層的數學結構選擇方法。條件是題目的一部分，不是可省略的附註。

先確認 1

哪個結構決定方法？

接下來怎麼做

確認指數固定，且變數位於底數。

先確認 2

哪些條件會改變答案？

接下來怎麼做

實數區間必須符合原冪函數的定義域；底數為複合函數時還需要連鎖律。

先確認 3

應該如何檢查結果？

接下來怎麼做

新指數必須比原指數少 1，每個內層函數都要提供其導數。

由二項式定理推導整數次方

展開 (x+h)ⁿ 並減去 xⁿ。

除以 h 後，最高主導項為 nxⁿ⁻¹。

當 h→0，仍含 h 的各項都趨近零。

對 [g(x)]ⁿ，須乘上 g′(x)，並保留所有定義域限制。

1
(x+h)ⁿ=xⁿ+nxⁿ⁻¹h+…
2
[(x+h)ⁿ−xⁿ]/h=nxⁿ⁻¹+O(h)
3
[g(x)ⁿ]'=ng(x)ⁿ⁻¹g'(x)

解題範例

ddx[x5]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^{5}\right]
5 x45\,x^{4}

將指數 5 降為 4。

ddx[x−2]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^{-2}\right]
−2 x−3-2\,x^{-3}

適用於 x≠0 的地方。

ddx[(x2+1)4]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\left(x^{2} + 1\right)^{4}\right]
8 x (x2+1)38\,x\,\left(x^{2} + 1\right)^{3}

同時使用冪法則與連鎖律。

常見錯誤

  • • 忘記把指數作為係數。
  • • 對 aˣ 套用冪法則。
  • • 漏掉內層導數。
  • • 漏掉定義域限制。

錯誤診斷：找出第一個不成立的步驟

錯誤嘗試

[x⁵]'=x⁴

錯在哪裡

原指數必須成為係數。

正確處理

[x⁵]'=5x⁴

錯誤嘗試

[(x²+1)⁴]'=4(x²+1)³

錯在哪裡

漏掉內層導數 2x。

正確處理

[(x²+1)⁴]'=8x(x²+1)³

改變結構，練習相同概念

揭示參考答案前，先指出法則及其條件，並解釋每個正負號與因子。

ddx[x−2]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^{-2}\right]

作答前檢查

適用於 x≠0 的地方。

查看參考答案

參考答案

−2 x−3-2\,x^{-3}
ddx[(x2+1)4]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\left(x^{2} + 1\right)^{4}\right]

作答前檢查

同時使用冪法則與連鎖律。

查看參考答案

參考答案

8 x (x2+1)38\,x\,\left(x^{2} + 1\right)^{3}

用計算機試算同一道題

每個連結都會開啟對應計算機，並帶入完整算式、變數與必要條件。

微分:x5x^{5}微分:(x2+1)4\left(x^{2} + 1\right)^{4}
開啟未填入範例的計算機: 微分

常見問題

負指數也適用嗎？+

適用，但僅限原表示式有定義的區間。

xˣ 可以直接用冪法則嗎？+

不能直接套用；底數與指數都變動時，可使用對數微分法。

常數為什麼微分成零？+

它是 x⁰ 的常數倍，而導數中的指數係數為零。

重點整理

固定指數使用冪法則；需要時，再加入連鎖律與定義域檢查。

比較使用方案