Reglas básicas de derivación

Regla de la potencia para derivadas: exponentes y condiciones

La regla de la potencia reduce un exponente fijo en una unidad y utiliza el exponente anterior como coeficiente. No se aplica directamente cuando la variable está en el exponente.

Respuesta directa

d/dx xⁿ = nxⁿ⁻¹

El intervalo real debe admitir la potencia original; una base compuesta también requiere la regla de la cadena.

Elección del método: Regla de la potencia para derivadas

Elige el método según la estructura matemática principal antes de manipular símbolos. Las condiciones forman parte del problema, no son notas opcionales.

Qué comprobar primero 1

¿Qué estructura determina el método?

Qué hacer

Confirma que el exponente es fijo y la variable está en la base.

Qué comprobar primero 2

¿Qué condición puede cambiar la respuesta?

Qué hacer

El intervalo real debe admitir la potencia original; una base compuesta también requiere la regla de la cadena.

Qué comprobar primero 3

¿Cómo se debe comprobar el resultado?

Qué hacer

El nuevo exponente debe ser una unidad menor y cada función interior debe aportar su derivada.

Potencias enteras a partir del teorema del binomio

Desarrolla (x+h)ⁿ y resta xⁿ.

Después de dividir entre h, el término principal es nxⁿ⁻¹.

Todos los términos que aún contienen h se anulan cuando h→0.

Para [g(x)]ⁿ, multiplica por g′(x) y conserva todas las restricciones del dominio.

1
(x+h)ⁿ=xⁿ+nxⁿ⁻¹h+…
2
[(x+h)ⁿ−xⁿ]/h=nxⁿ⁻¹+O(h)
3
[g(x)ⁿ]'=ng(x)ⁿ⁻¹g'(x)

Ejemplos resueltos

ddx[x5]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^{5}\right]
5 x45\,x^{4}

Reduce 5 a 4.

ddx[x−2]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^{-2}\right]
−2 x−3-2\,x^{-3}

Válida donde x≠0.

ddx[(x2+1)4]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\left(x^{2} + 1\right)^{4}\right]
8 x (x2+1)38\,x\,\left(x^{2} + 1\right)^{3}

Regla de la potencia más regla de la cadena.

Errores comunes

  • • Olvidar el coeficiente del exponente.
  • • Usar la regla en aˣ.
  • • Omitir la derivada interior.
  • • Perder las restricciones del dominio.

Análisis de errores: encuentra el primer paso inválido

Intento incorrecto

[x⁵]'=x⁴

Por qué falla

El exponente original debe convertirse en coeficiente.

Corrección

[x⁵]'=5x⁴

Intento incorrecto

[(x²+1)⁴]'=4(x²+1)³

Por qué falla

Falta la derivada interior 2x.

Corrección

[(x²+1)⁴]'=8x(x²+1)³

Practica la misma idea con una estructura distinta

Identifica la regla y sus condiciones antes de mostrar la respuesta de referencia. Explica cada signo y factor.

ddx[x−2]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^{-2}\right]

Comprueba antes de resolver

Válida donde x≠0.

Ver la respuesta de referencia

Respuesta de referencia

−2 x−3-2\,x^{-3}
ddx[(x2+1)4]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\left(x^{2} + 1\right)^{4}\right]

Comprueba antes de resolver

Regla de la potencia más regla de la cadena.

Ver la respuesta de referencia

Respuesta de referencia

8 x (x2+1)38\,x\,\left(x^{2} + 1\right)^{3}

Prueba los ejemplos en la calculadora

Cada enlace abre la calculadora correspondiente con la expresión, la variable y las condiciones necesarias ya completadas.

Derivadas:x5x^{5}Derivadas:(x2+1)4\left(x^{2} + 1\right)^{4}
Abrir la calculadora sin un ejemplo: Derivadas

Preguntas frecuentes

¿Funciona con exponentes negativos?+

Sí, en intervalos donde la expresión original esté definida.

¿xˣ es un problema de la regla de la potencia?+

No directamente; la derivación logarítmica trata una base y un exponente variables.

¿Por qué la derivada de una constante es cero?+

Es un múltiplo constante de x⁰, cuyo coeficiente de derivación es cero.

Conclusión

Usa la regla de la potencia para un exponente fijo y añade las comprobaciones de cadena y dominio necesarias.

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