Métodos de derivación

Cómo usar la regla del cociente y conservar el orden

La regla del cociente deriva una razón variable. El orden de la resta y el denominador al cuadrado reflejan cómo el divisor variable afecta al resultado.

Respuesta directa

(f/g)′ = (f′g − fg′)/g²

El denominador g(x) no puede ser cero.

Elección del método: Cómo usar la regla del cociente

Elige el método según la estructura matemática principal antes de manipular símbolos. Las condiciones forman parte del problema, no son notas opcionales.

Qué comprobar primero 1

¿Qué estructura determina el método?

Qué hacer

Usa la regla del cociente cuando una expresión variable divide a otra y la simplificación no elimina el cociente.

Qué comprobar primero 2

¿Qué condición puede cambiar la respuesta?

Qué hacer

El denominador g(x) no puede ser cero.

Qué comprobar primero 3

¿Cómo se debe comprobar el resultado?

Qué hacer

Comprueba el denominador al cuadrado y compara con una derivada simplificada algebraicamente cuando sea posible.

Obtener la regla a partir de un recíproco

Escribe f/g como f·g⁻¹.

Aplica la regla del producto y la de la cadena a g⁻¹.

Combina f′g⁻¹−fg⁻²g′ sobre g².

Simplifica primero si una cancelación válida elimina el cociente, pero conserva los puntos excluidos.

1
fg=f g−1\frac{f}{g} = f\,g^{-1}
2
(g⁻¹)'=−g⁻²g'
3
(f/g)'=(f'g−fg')/g²

Ejemplos resueltos

ddx[x2+1x]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{x^{2} + 1}{x}\right]
1−1x21 - \frac{1}{x^{2}}

Válida donde x≠0.

ddx[sin⁡xx]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{\sin x}{x}\right]
[x cos(x)−sin(x)]/x²

Conserva el orden del numerador.

ddx[xx+1]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{x}{x + 1}\right]
1(x+1)2\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}

El numerador se simplifica después de restar.

Errores comunes

  • • Invertir el orden de la resta.
  • • Olvidar g².
  • • Dividir f′ entre g′.
  • • Ignorar los ceros del denominador.

Análisis de errores: encuentra el primer paso inválido

Intento incorrecto

[sin(x)/x]'=cos(x)

Por qué falla

Se trató el denominador como constante.

Corrección

[x cos(x)−sin(x)]/x²

Intento incorrecto

[x/(x+1)]'=−1/(x+1)²

Por qué falla

Se invirtió el orden de la resta.

Corrección

1(x+1)2\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}

Practica la misma idea con una estructura distinta

Identifica la regla y sus condiciones antes de mostrar la respuesta de referencia. Explica cada signo y factor.

ddx[sin⁡xx]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{\sin x}{x}\right]

Comprueba antes de resolver

Conserva el orden del numerador.

Ver la respuesta de referencia

Respuesta de referencia

[x cos(x)−sin(x)]/x²
ddx[xx+1]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{x}{x + 1}\right]

Comprueba antes de resolver

El numerador se simplifica después de restar.

Ver la respuesta de referencia

Respuesta de referencia

1(x+1)2\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}

Prueba los ejemplos en la calculadora

Cada enlace abre la calculadora correspondiente con la expresión, la variable y las condiciones necesarias ya completadas.

Derivadas:sin⁡xx\frac{\sin x}{x}Derivadas:xx+1\frac{x}{x + 1}
Abrir la calculadora sin un ejemplo: Derivadas

Preguntas frecuentes

¿Puedo reescribir un cociente como producto?+

Sí. Las reglas del producto y de la cadena aplicadas a fg⁻¹ dan la misma fórmula.

¿Conviene simplificar primero?+

Sí, cuando la simplificación sea válida y los puntos excluidos del dominio sigan registrados.

¿Por qué se eleva el denominador al cuadrado?+

Derivar g⁻¹ produce g⁻² mediante la regla de la potencia.

Conclusión

Conserva el orden f′g−fg′, eleva al cuadrado el denominador original y mantén todas las exclusiones del dominio.

Comparar planes