微分方法

如何使用商法則並保留正確順序

商法則處理變動的比值。相減順序與平方分母，反映變動的除數如何影響輸出。

先看結論

(f/g)′ = (f′g − fg′)/g²

分母 g(x) 不可為零。

什麼時候使用商法則？

操作符號前，先從最外層的數學結構選擇方法。條件是題目的一部分，不是可省略的附註。

先確認 1

哪個結構決定方法？

接下來怎麼做

變動的表示式除以另一個表示式，且化簡不能消除商式時，使用商法則。

先確認 2

哪些條件會改變答案？

接下來怎麼做

分母 g(x) 不可為零。

先確認 3

應該如何檢查結果？

接下來怎麼做

檢查分母的平方，並在可行時與代數化簡後算出的導數比較。

從倒數推導法則

將 f/g 寫成 f·g⁻¹。

使用乘積法則，並對 g⁻¹ 使用連鎖律。

將 f′g⁻¹−fg⁻²g′ 合併成以 g² 為分母的分式。

若合法約分能消去商式，可以先化簡，但仍須保留排除的點。

1
fg=f g−1\frac{f}{g} = f\,g^{-1}
2
(g⁻¹)'=−g⁻²g'
3
(f/g)'=(f'g−fg')/g²

解題範例

ddx[x2+1x]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{x^{2} + 1}{x}\right]
1−1x21 - \frac{1}{x^{2}}

適用於 x≠0 的地方。

ddx[sin⁡xx]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{\sin x}{x}\right]
[x cos(x)−sin(x)]/x²

保留分子的相減順序。

ddx[xx+1]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{x}{x + 1}\right]
1(x+1)2\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}

相減後，分子會簡化。

常見錯誤

  • • 顛倒相減順序。
  • • 忘記 g²。
  • • 將 f′ 除以 g′。
  • • 忽略分母零點。

錯誤診斷：找出第一個不成立的步驟

錯誤嘗試

[sin(x)/x]'=cos(x)

錯在哪裡

把分母當成常數。

正確處理

[x cos(x)−sin(x)]/x²

錯誤嘗試

[x/(x+1)]'=−1/(x+1)²

錯在哪裡

相減順序顛倒。

正確處理

1(x+1)2\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}

改變結構，練習相同概念

揭示參考答案前，先指出法則及其條件，並解釋每個正負號與因子。

ddx[sin⁡xx]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{\sin x}{x}\right]

作答前檢查

保留分子的相減順序。

查看參考答案

參考答案

[x cos(x)−sin(x)]/x²
ddx[xx+1]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{x}{x + 1}\right]

作答前檢查

相減後，分子會簡化。

查看參考答案

參考答案

1(x+1)2\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}

用計算機試算同一道題

每個連結都會開啟對應計算機，並帶入完整算式、變數與必要條件。

微分:sin⁡xx\frac{\sin x}{x}微分:xx+1\frac{x}{x + 1}
開啟未填入範例的計算機: 微分

常見問題

可以把商改寫成乘積嗎？+

可以。對 fg⁻¹ 使用乘積法則與連鎖律，會得到相同公式。

應該先化簡嗎？+

化簡合法，且仍記錄被排除的定義域點時，可以先做。

分母為什麼要平方？+

依冪法則，g⁻¹ 微分會產生 g⁻²。

重點整理

保留 f′g−fg′ 的順序，將原分母平方，並保留每個定義域限制。

比較使用方案