Métodos de derivación

Cómo usar la regla del producto sin perder un término

La derivada de un producto no es el producto de las derivadas. Cada término correcto cambia un factor y conserva el otro.

Respuesta directa

(fg)′ = f′g + fg′

Ambos factores pueden depender de x; un factor realmente constante puede sacarse fuera.

Elección del método: Cómo usar la regla del producto

Elige el método según la estructura matemática principal antes de manipular símbolos. Las condiciones forman parte del problema, no son notas opcionales.

Qué comprobar primero 1

¿Qué estructura determina el método?

Qué hacer

Usa la regla del producto cuando la operación principal multiplica factores que dependen de x.

Qué comprobar primero 2

¿Qué condición puede cambiar la respuesta?

Qué hacer

Ambos factores pueden depender de x; un factor realmente constante puede sacarse fuera.

Qué comprobar primero 3

¿Cómo se debe comprobar el resultado?

Qué hacer

Cuenta un término de derivada por cada factor que cambia y asegúrate de que ningún término derive todos los factores a la vez.

Sumar y restar el término cruzado

Empieza con el cociente incremental del producto.

Suma y resta f(x+h)g(x) y después separa en dos cocientes.

La continuidad y los dos límites de derivadas dan f′g+fg′.

Aplica la regla de la cadena dentro de cada factor cuando sea necesario.

1
(fg)′=f′g+fg′
2
[x²sin(x)]'=2x sin(x)+x²cos(x)
3
Deriva un factor en cada término

Ejemplos resueltos

ddx[x2 sin⁡x]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^{2}\,\sin x\right]
2x sin(x)+x²cos(x)

Un término por cada factor que cambia.

d/dx [x exp(x)]
ex (x+1)e^{x}\,\left(x + 1\right)

Saca exp(x) como factor después de aplicar la regla.

ddx[(x2+1) cos⁡(3 x)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\left(x^{2} + 1\right)\,\cos\left(3\,x\right)\right]
2x cos(3x)−3(x²+1)sin(3x)

El segundo factor también necesita la regla de la cadena.

Errores comunes

  • • Usar f′g′.
  • • Escribir solo un término.
  • • Cambiar ambos factores en un mismo término.
  • • Olvidar una regla de la cadena interior.

Análisis de errores: encuentra el primer paso inválido

Intento incorrecto

[x²sin(x)]'=2x cos(x)

Por qué falla

Se multiplican las derivadas de los factores y se pierden ambos términos del producto.

Corrección

2x sin(x)+x²cos(x)

Intento incorrecto

[x exp(x)]'=exp(x)

Por qué falla

Solo se derivó x.

Corrección

exp(x)+x exp(x)

Practica la misma idea con una estructura distinta

Identifica la regla y sus condiciones antes de mostrar la respuesta de referencia. Explica cada signo y factor.

d/dx [x exp(x)]

Comprueba antes de resolver

Saca exp(x) como factor después de aplicar la regla.

Ver la respuesta de referencia

Respuesta de referencia

ex (x+1)e^{x}\,\left(x + 1\right)
ddx[(x2+1) cos⁡(3 x)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\left(x^{2} + 1\right)\,\cos\left(3\,x\right)\right]

Comprueba antes de resolver

El segundo factor también necesita la regla de la cadena.

Ver la respuesta de referencia

Respuesta de referencia

2x cos(3x)−3(x²+1)sin(3x)

Prueba los ejemplos en la calculadora

Cada enlace abre la calculadora correspondiente con la expresión, la variable y las condiciones necesarias ya completadas.

Derivadas:x2 sin⁡xx^{2}\,\sin xDerivadas:x exx\,e^{x}
Abrir la calculadora sin un ejemplo: Derivadas

Preguntas frecuentes

¿Por qué f′g′ es incorrecto?+

Un pequeño cambio del producto tiene dos contribuciones de primer orden; el cambio simultáneo es de segundo orden.

¿Y si hay tres factores?+

Deriva un factor cada vez y conserva los otros dos: se obtienen tres términos.

¿Conviene desarrollar primero?+

Solo cuando el desarrollo simplifique realmente la derivada y conserve el dominio.

Conclusión

Crea un término por cada factor que cambia, conserva los demás factores y aplica las reglas interiores dentro de cada término.

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